Question

Cho x+y =a+b và x^2 +y^2 =a^2+b^2 . Chứng minh rằng x^2012+y^2012 =a^2012+b^2012

Answer 1

Từ giả thiết a + b = x + y ta có 
(a + b)^2 = (x + y)^2, 
hay a^2 + b^2 + 2ab = x^2 + y^2 + 2xy. 
Lại vì a^2 + b^2 = x^2 + y^2 nên từ đẳng thức trên suy ra ab = xy. Từ đó ta có 
(a - b)^2 = (x - y)^2, 
suy ra a - b = x - y hoặc a - b = y - x. 
Nếu a - b = x - y thì vì a + b = x + y nên a = x và b = y, và từ đó a^2012 + b^2012 = x^2012 + y^2012. 
Nếu a - b = y - x thì vì a + b = x + y nên a = y và b = x, và từ đó a^2012 + b^2012 = y^2012 + x^2012.