Question

Cho x,y> 0 và x² + y = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

\(T=\sqrt{x^4+\frac{1}{x^4}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}\)

Answer 1

Áp dụng BĐT Minicopski ta có:

\(T=\sqrt{x^4+\frac{1}{x^4}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}\ge\sqrt{\left(x^2+y\right)^2+\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y}\right)^2}\)

\(\ge\sqrt{1^2+\left(\frac{4}{x^2+y}\right)^2}=\sqrt{1+\left(\frac{4}{1}\right)^2}=\sqrt{17}\)

Nên GTNN của T là \(\sqrt{17}\) khi \(\hept{\begin{cases}x=\sqrt{\frac{1}{2}}\\y=\frac{1}{2}\end{cases}}\)