Vì x+1/y và y+1/x đều thuộc Z <=> (x+1/y).(y+1/y) thuộc Z
<=> xy+1/xy+2 thuộc Z => xy+1/xy thuộc Z
<=> (xy+1/xy)^2 thuộc N
<=> x^2.y^2 + 1/x^2.y^2 + 2 thuộc Z
<=> x^2.y^2 + 1/x^2.y^2 thuộc Z
=> ĐPCM
k mk nha bạn
1 Cho \(x,y,z\in(0,1]\) CM \(\frac{x}{1+y+xz}+\frac{y}{1+z+xy}+\frac{z}{1+x+yz}\le\frac{3}{x+y+z}\)
cho x,y,z \(\in\)R*
có: \(x^3+y^3+z^3=1\)và \(x\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)+y\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{z}\right)+z\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)=-2\)
tính P=\(\frac{1}{x}+\frac{1}{z}+\frac{1}{y}\)
cho x,y,z thỏa mãn \(x,y,z\in\left[\frac{1}{2};1\right]\) . Tìm min max của
\(A=\frac{x+y}{1+z}+\frac{y+z}{1+x}+\frac{z+x}{1+y}\)
CMR biểu thức sau có giá trị nguyên \(A=\frac{xy+2y+1}{xy+x+y+1}+\frac{yz+2z+1}{yz+y+z+1}+\frac{zx+2x+1}{zx+z+x+1}\)
(Với \(x,y,z\in R;x,y,z\ne-1\))
1 cho 3 số a,b,c tm \(0\le a,b,c\le2\) và\(a+b+c=3\) CM \(a^3+b^3+c^3\le9\)
2 CHO \(x,y,z\in(0,1]\) CM \(\frac{x}{1+y+xz}+\frac{y}{1+z+xy}+\frac{z}{1+x+yz}\le\frac{3}{x+y+z}\)
chị QA
ta có đề bài <=>
\(\frac{x^2}{y}-2x+y+\frac{y^2}{z}-2y+z+\frac{z^2}{x}-2z+x+\left(x+y+z\right)-\left(x-y\right)^2-\left(y-z\right)^2-\left(z-x\right)^2\)
=\(\frac{\left(x-y\right)^2}{y}-\left(x-y\right)^2+...+\left(x+y+z\right)\)
=\(\left(x-y\right)^2\left(\frac{1}{y}-1\right)+....+\left(x+y+z\right)\)
mà \(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=1\Rightarrow x,y,z\in\left[0;1\right]\)
=> \(\frac{1}{y}-y>0\)
=> \(A\ge x+y+z\ge\frac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)^2}{3}=\frac{1}{3}\)
a) Cho \(x,y\in Z\)thỏa \(4x+5y=7\). Tìm GTNN của \(P=5\left(x\right)-3\left(y\right)\)
(Chú thích: () là dấu giá trị tuyệt đối)
b) Cho \(x,y,z>0\)thỏa \(xyz=1\).CM:
\(3+\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\ge x+y+z+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)
Cho x , y , z \(\in Z\)thỏa : \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}\). Hãy tính giá trị biểu thức :
\(M=\frac{3}{4}+\left(x^8-y^8\right)\left(y^9+z^9\right)\left(z^{10}-x^{10}\right)\)
CHO X,Y,Z LÀ CÁC SỐ THỰC KHÔNG ÂM THỎA MÃN X+Y+Z=3 VÀ XY+YZ+ZX KHÁC 0 . CMR :
\(\frac{x+1}{y+1}+\frac{y+1}{z+1}+\frac{z+1}{x+1}\le\frac{25}{3\sqrt[3]{4.\left(xy+yz+zx\right)}}\)
thanks in advance <3
