Các câu hỏi tương tự
cho \(x^2+y^2+z^2=\) \(3\) cmr\(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{x+z}\ge\frac{4}{x^2+7}+\frac{4}{y^2+7}+\frac{4}{z^2+7}\)
cho x;y;z là các số thực dương thỏa mãn x+y+z=1.CMR:
\(\frac{xy}{x^2+y^2}+\frac{yz}{y^2+z^2}+\frac{zx}{z^2+x^2}+\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge\frac{15}{4}\)
Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn x+y+z=1 .Chứng minh
\(\frac{xy}{x^2+y^2}+\frac{yz}{y^2+z^2}+\frac{zx}{z^2+x^2}+\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge\frac{15}{4}\)
CHO a,b,c0 thỏa mãn: a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2ge a^2+b^2+c^2CMR: frac{a^2b^2}{c^3left(a^2+b^2right)}+frac{b^2c^2}{a^3left(b^2+c^2right)}+frac{c^2a^2}{b^3left(a^2+c^2right)}gefrac{sqrt{3}}{2}ĐẶT Afrac{a^2b^2}{c^3left(a^2+b^2right)}+frac{b^2c^2}{a^3left(b^2+c^2right)}+frac{c^2a^2}{b^3left(c^2+a^2right)}ĐẶT:frac{1}{a}x,frac{1}{y}b,frac{1}{z}cRightarrow x^2+y^2+z^2ge1Rightarrow Afrac{x^3}{y^2+z^2}+frac{y^3}{z^2+x^2}+frac{z^3}{z^2+y^2}TA CÓ:xleft(y^2+z^2right)frac{1}{sqrt{2}}sqrt{2x^2left(y^2+z^2right)lef...
Đọc tiếp
CHO a,b,c>0 thỏa mãn: \(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\ge a^2+b^2+c^2\)
CMR: \(\frac{a^2b^2}{c^3\left(a^2+b^2\right)}+\frac{b^2c^2}{a^3\left(b^2+c^2\right)}+\frac{c^2a^2}{b^3\left(a^2+c^2\right)}\ge\frac{\sqrt{3}}{2}\)
ĐẶT \(A=\frac{a^2b^2}{c^3\left(a^2+b^2\right)}+\frac{b^2c^2}{a^3\left(b^2+c^2\right)}+\frac{c^2a^2}{b^3\left(c^2+a^2\right)}\)
ĐẶT:\(\frac{1}{a}=x,\frac{1}{y}=b,\frac{1}{z}=c\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge1\)
\(\Rightarrow A=\frac{x^3}{y^2+z^2}+\frac{y^3}{z^2+x^2}+\frac{z^3}{z^2+y^2}\)
TA CÓ:
\(x\left(y^2+z^2\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{2x^2\left(y^2+z^2\right)\left(y^2+z^2\right)}\le\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{\frac{\left(2x^2+2y^2+2z^2\right)^3}{27}}=\frac{2}{3\sqrt{3}}\left(x^2+y^2+z^2\right)\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)TƯƠNG TỰ:
\(y\left(x^2+z^2\right)\le\frac{2}{3\sqrt{3}}\left(x^2+y^2+z^2\right)\sqrt{x^2+y^2+z^2},z\left(x^2+y^2\right)\le\frac{2}{3\sqrt{3}}\left(x^2+y^2+z^2\right)\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)LẠI CÓ:
\(A=\frac{x^3}{y^2+z^2}+\frac{y^3}{x^2+z^2}+\frac{z^3}{x^2+y^2}=\frac{x^4}{x\left(y^2+z^2\right)}+\frac{y^4}{y\left(x^2+z^2\right)}+\frac{z^4}{z\left(x^2+y^2\right)}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x\left(y^2+z^2\right)+y\left(x^2+z^2\right)+z\left(x^2+y^2\right)}\ge\frac{1}{3.\frac{2}{3\sqrt{3}}\left(x^2+y^2+z^2\right)\sqrt{x^2+y^2+z^2}}
\)\(\ge\frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{x^2+y^2+z^2}\ge\frac{\sqrt{3}}{2}\)
DẤU BẰNG XẢY RA\(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow DPCM\)
1, Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : \(M=\frac{y\sqrt{x-1}+x\sqrt{y-4}}{xy}\)
2, Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn : \(2x^2+y^2+4x=4+2xy\)
3, Cho x,y,z >0 . Chứng minh : \(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2}\ge\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\)
cho x,y,z là các số dương thỏa \(x^2+y^2+z^2=3\)
chứng minh:\(\frac{x^2}{y+2\text{z}}+\frac{y^2}{z+2x}+\frac{z^2}{x+2y}+\frac{1}{1+\sqrt{3+2\left(xy+yz+x\text{z}\right)}}\ge\frac{5}{4}\)
a)Cho các số x,y,z ge1.CMR: frac{1}{1+x}+frac{1}{1+y}+frac{1}{1+z}gefrac{3}{1+sqrt[3]{xyz}}.b) Cho x,y,z ge0 và xle1;yle1;zle1chứng minh:frac{1}{1+x^2}+frac{1}{1+y^2}+frac{1}{1+z^2}lefrac{3}{1+xyz}c)Cho a + bge2.CMR: a^3+b^3le a^4+b^4d)Cho a2+b2gefrac{1}{4}.CMR:a^4+b^4gefrac{1}{32}
Đọc tiếp
a)Cho các số x,y,z \(\ge\)1.CMR: \(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\ge\frac{3}{1+\sqrt[3]{xyz}}\).
b) Cho x,y,z \(\ge\)0 và x\(\le1;y\le1;z\le1\)chứng minh:
\(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}+\frac{1}{1+z^2}\le\frac{3}{1+xyz}\)
c)Cho a + b\(\ge\)2.CMR: \(a^3+b^3\le a^4+b^4\)
d)Cho a2+b2\(\ge\frac{1}{4}.CMR:a^4+b^4\ge\frac{1}{32}\)
1.Cho xby+cz,yax+cz,zax+by,x+y+z khác 0.Tính:Qfrac{1}{1+a}+frac{1}{1+b}+frac{1}{c}2.Cho a+b+c0.C/m:a^4+b^4+c^4frac{1}{2}left(a^2+b^2+c^2right)3.Cho x+y+z0.C/m:2left(x^5+y^5+z^5right)5xyzleft(x^2+y^2+z^2right)4.Cho a,b,c đôi một khác nhau và khác 0 thỏa mãn:a+frac{1}{b}b+frac{1}{c}c+frac{1}{a}C/m:abc1 hoặc abc-15.Cho x+y+xy3,yz+y+z8,xz+x+z15.Tính x+y+z6. Cho xy+x+y-1 ;x^2y+xy^2-12Tính Px^3+y^37.Cho a,b,c khác 0:frac{ay-bx}{c}frac{cx-az}{b}frac{bz-cy}{a}C/m:left(ax+by+czright)^2left(x^2+y...
Đọc tiếp
1.Cho x=by+cz,y=ax+cz,z=ax+by,x+y+z khác 0.Tính:
Q=\(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{c}\)
2.Cho a+b+c=0.C/m:\(a^4+b^4+c^4=\frac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
3.Cho x+y+z=0.C/m:\(2\left(x^5+y^5+z^5\right)=5xyz\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
4.Cho a,b,c đôi một khác nhau và khác 0 thỏa mãn:\(a+\frac{1}{b}=b+\frac{1}{c}=c+\frac{1}{a}\)
C/m:abc=1 hoặc abc=-1
5.Cho x+y+xy=3,yz+y+z=8,xz+x+z=15.Tính x+y+z
6. Cho xy+x+y=-1 ;\(x^2y+xy^2=-12\)
Tính P=\(x^3+y^3\)
7.Cho a,b,c khác 0:\(\frac{ay-bx}{c}=\frac{cx-az}{b}=\frac{bz-cy}{a}\)
C/m:\(\left(ax+by+cz\right)^2=\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
cho x,y,z thuộc R, thỏa mãn \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}\) tính M=\(\frac{3}{4}+\left(x^2-y^2\right)\cdot\left(y^3+z^3\right)\cdot\left(z^4-x^4\right)\)