Question

Cho x>0,y>0 và x+y=2. Tìm GTLN của biểu thức P=x^2.y^2.(x^2+y^2)

Answer 1

AM-GM là ra thôi

Answer 2

đề bài cho x+y=2

vậy : \(\left(x+y\right)^2=4\)  định lí Mori 

\(P=x^2.y^2.\left\{\left(x+y\right)^2-2xy\right\}\)

mặt khác ta có

\(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\Rightarrow2xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\)

suy ra

\(P\le x^2y^2\left\{\left(x+y\right)^2-\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\right\}\)

có x+y=2 

\(\Rightarrow P\le x^2y^2\left(4-2\right)=2x^2y^2\)

ta lại có

\(2x^2y^2\le\frac{\left(x^2+y^2\right)^2}{2}=\frac{\left\{\left(x+y\right)^2-2xy\right\}^2}{2}\)

\(p\le\frac{\left(4-2xy\right)^2}{2}\)

có 2xy=2 ( cmr)

\(P\le\frac{\left(4-2\right)^2}{2}=2\)

vậy giá trị lớn nhất của P là 2 dấu = xảy ra khi x=y=1