\(x^2+\frac{1}{x^2}=7\Leftrightarrow\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)^2=49\)
\(\Leftrightarrow x^4+\frac{1}{x^4}+2=49\Leftrightarrow x^4+\frac{1}{x^4}=47\)
\(\Leftrightarrow\left(x^4+\frac{1}{x^4}\right)^2=2209\Leftrightarrow x^8+\frac{1}{x^8}+2=2209\Leftrightarrow x^8+\frac{1}{x^8}=2207\)