Question

Cho x, y, z nguyên dương. Chứng minh M = x/x+y +y/y+z =z/z+x có giá trị không phải là số tự nhiên

Answer 1

de bi sai neu x=y=x=1 thi M=1

Answer 2

Ta có : \(\frac{x}{x+y}>\frac{x}{x+y+z}\)

\(\frac{y}{y+z}>\frac{y}{x+y+z}\)

\(\frac{z}{z+x}>\frac{z}{x+y+z}\)

Cộng theo vế , suy ra : \(M=\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}>\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+z}+\frac{z}{x+y+z}\)

\(< =>M>\frac{x+y+z}{x+y+z}=1\)(*)

Lại có : \(\frac{x}{x+y}< \frac{x+z}{x+y+z}\)

\(\frac{y}{y+z}< \frac{y+x}{y+z+x}\)

\(\frac{z}{z+x}< \frac{z+y}{z+x+y}\)

Cộng theo vế , suy ra : \(M=\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}< \frac{x+z}{x+y+z}+\frac{y+x}{x+y+z}+\frac{z+y}{x+y+z}\)

\(< =>M< \frac{2\left(x+y+z\right)}{x+y+z}=2\)(**)

Từ (*) và (**) \(< =>1< M< 2\)

Từ đó ta có điều phải chứng minh