Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
hung

Cho x, y, z > 0 thỏa mãn xy + yz + zx = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của M = x4 + y4 + z4

Mai Thanh Hải
3 tháng 7 2017 lúc 15:30

Ta có :

\(M=x^4+y^4+z^4=\left(x^4+\frac{1}{9}\right)+\left(y^4+\frac{1}{9}\right)+\left(z^4+\frac{1}{9}\right)-\frac{1}{3}\)

Áp dụng BĐT \(a^2+b^2\ge2ab\) ( "=" khi a=b ) , ta có :

\(M\ge\frac{2}{3}x^2+\frac{2}{3}y^2+\frac{2}{3}z^2-\frac{1}{3}\)

\(\Rightarrow M\ge\frac{1}{3}\left(2x^2+2y^2+2z^2\right)-\frac{1}{3}\)

\(\Rightarrow M\ge\frac{1}{3}\left[\left(x^2+y^2\right)+\left(y^2+z^2\right)+\left(x^2+z^2\right)\right]-\frac{1}{3}\)

\(\Rightarrow M\ge\frac{2}{3}.\left(xy+yz+xz\right)-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}\) ( Vì xy+yz+xz=1 )

Dấu "=" xảy ra khi  \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

                 Vậy \(GTNN_M=\frac{1}{3}\) khi  \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

( Ko bít đúng Ko )    :)

hung
5 tháng 7 2017 lúc 10:11

cảm ơn nha


Các câu hỏi tương tự
phùng tấn dũng
Xem chi tiết
Nguyễn Đức Duy
Xem chi tiết
Trần Minh ngoc
Xem chi tiết
Đào Mạnh Đạt
Xem chi tiết
Phủ Đổng Thiên Vương
Xem chi tiết
Hà Khánh Ngân
Xem chi tiết
Dương Thu Ngọc
Xem chi tiết
Nguyễn Khánh Ly
Xem chi tiết
Hà Thị Ánh Nguyệt
Xem chi tiết