Question

Cho x + y = 2. Chứng minh rằng xy \(\le\) 1

Answer 1

Đặt x = 1 + m ; y = 1 - m thì x + y = 1 + m + 1 - m = 2

Ta có xy = (1 + m) . (1 - m) = 1 . (1 - m) + m . (1 - m) = 1 - m + m - m² = 1 - m² \(\le\) 1 (vì m² \(\ge\) 0).

Vậy suy ra điều phải chứng minh (dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow\) m = 0 \(\Leftrightarrow\) x = y = 1)

Answer 2

X + y = 1 => ít nhất có1 số dương. 
TH1 : 1 dương , 1 âm => xy < 0 < 1 
TH2 : x > 0, y > 0 
Ta có : x + y >= 2 nhân căn của (x.y) 
Suy ra 2 >= 2 nhân căn của ( x.y ) 
Suy ra 1 >= căn của ( x.y ). 
Vây x.y =< 1