Nhận xét: chỉ cần biến đổi chút là bài toán trở nên đơn giản hơn rất nhiều:
P = (1 + 1/x)(1 + 1/y) . (1 - 1/x)(1 - 1/y)
= (1 + 1/x)(1 + 1/y) . (x -1)(y - 1)/(xy)
= (1 + 1/x)(1 + 1/y) . (-x).(-y)/(xy)
= (1 + 1/x)(1 + 1/y)
= 1 + 1/(xy) + (1/x + 1/y) = 1 + 1/(xy) + (x + y)/xy
= 1 + 1/(xy) + 1/(xy) = 1 + 2/(xy)
Ta có:
A=|x−4|+|x−2020|=|x−4|+|2020−x|≥x−4+2020−x=2016
Dấu "=" xảy ra <=> x - 4 ≥0≥0
và 2020 - x ≥0≥0
<=> x≥4x≥4 và x≤2020x≤2020
⇔4≤x≤2020⇔4≤x≤2020
Vậy A đạt GTNN là 2016 ⇔4≤x≤2020
Ta có: x - y = 1 => x = 1 + y
Khi đó, ta có:
(1 + y)2 + y2 + 2020 = 1 + 2y + y2 + y2 + 2020 = 2y2 + 2y + 2021 = 2(y2 + y + 1/4) + 4041/2 = 2(y + 1/2)2 + 4041/2
Ta luôn có: (y + 1/2)2 \(\ge\)0 \(\forall\)y
=> 2(y + 1/2)2 + 4041/2 \(\ge\)4041/2 \(\forall\)y
Dấu "=" xảy ra khi : \(y+\frac{1}{2}=0\Leftrightarrow y=-\frac{1}{2}\)
<=> \(x=-\frac{1}{2}+1=\frac{1}{2}\)
Vậy Min của x2 + y2 + 2020 = 4041/2 tại x = 1/2 và y = -1/2
