Cho tứ diện SABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA= SB= 3 cm, BC =5cm và diện tích tam giác SAC bằng 6 c m 2 . Một mặt phẳng α thay đổi qua trọng tâm G của tứ diện cắt các cạnh AS, AB, AC lần lượt tại M, N, P. Tính giá trị nhỏ nhất T m của biểu thức T = 1 A M 2 + 1 A N 2 + 1 A P 2
A. T m = 8 17
B. T m = 41 144
C. T m = 1 10
D. T m = 1 34
Chọn A
Vì tam giác SAC vuông tại A
nên tam giác ABC vuông tại A. Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ
Ta có
A(0;0;0), B(3;0;0), C(0;4;0), S(0;0;3)
Vì G là trọng tâm của tứ diện SABC nên ta có
Gọi H là hình chiếu của điểm A lên mặt phẳng α . Theo tính chất của tam diện vuông ta có
Dấu “=” xảy ra khi H ≡ G tức mặt phẳng α đi qua điểm G và vuông góc với đường thẳng OG.
Vậy giá trị nhỏ nhất của T bằng 8 17
