Question

Cho tích \(abc=1\)và \(a+b+c>\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)

Chứng minh rằng: \(\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)>0\)

Answer 1

phân tích lần lượt \(\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)=abc-ab-bc-ca+a+b+c-1\)(tự nhân ra hộ mình nhé)

\(=\left(a+b+c\right)-\left(ab+bc+ca\right)\)(vì abc=1)

Theo đề bài ta có: \(a+b+c>\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{ab+bc+ca}{abc}=ab+bc+ca\)(vì abc=1)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)-\left(ab+bc+ca\right)>0\)

\(\Rightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)>0\)