Lời giải:
a)
Xét tam giác $ABH$ và $CBA$ có:
\(\widehat{B}\) chung
\(\widehat{AHB}=\widehat{CAB}=90^0\)
\(\Rightarrow \triangle ABH\sim \triangle CBA(g.g) \)
\(\Rightarrow \frac{AB}{CB}=\frac{BH}{BA}\Rightarrow BA^2=BH.BC\) (đpcm)
b)
Xét tam giác $BAH$ có đường phân giác $BI$, áp dụng tính chất đường phân giác ta có: \(\frac{IA}{IH}=\frac{BA}{BH}\Rightarrow IA.BH=IH.AB\)
c)
Xét tam giác $ABI$ và $CBD$ có:
\(\widehat{ABI}=\widehat{CBD}(=\frac{\widehat{ABC}}{2})\)
\(\widehat{BAI}=\widehat{BCD}(=90^0-\widehat{A_1})\)
\(\Rightarrow \triangle ABI\sim \triangle CBD(g.g)\)
Ta biết rằng nếu 2 tam giác đồng dạng theo tỉ số $k$ thì diện tích tương ứng của chúng sẽ tỉ lệ theo $k^2$
Do đó:
\(\frac{S_{ABI}}{S_{CBD}}=(\frac{AB}{CB})^2=(\frac{6}{10})^2=\frac{9}{25}\)
Cách khác:
Ta có: \(\frac{S_{ABI}}{S_{CBD}}=\frac{BH.AI}{AB.CD}(1)\)
Theo kết quả phần a: \(AB^2=BH.BC\Rightarrow \frac{BH}{AB}=\frac{AB}{BC}(2)\)
Mà \(\triangle ABI\sim \triangle CBD\) (cmt) \(\rightarrow \frac{AI}{CD}=\frac{AB}{CB}(3)\)
Từ \((1);(2);(3)\Rightarrow \frac{S_{ABI}}{S_{CBD}}=\frac{AB}{CB}.\frac{AB}{CB}=\frac{9}{25}\)
d)
Theo phần b: \(\frac{IH}{IA}=\frac{BH}{BA}(3)\)
Theo phần a: \(AB^2=BH.BC\Rightarrow \frac{BH}{BA}=\frac{AB}{BC}(4)\)
Xét tam giác $BAC$ có phân giác $BD$, áp dụng tính chất đường phân giác: \(\frac{AD}{DC}=\frac{AB}{BC}(5)\)
Từ \((3);(4);(5)\Rightarrow \frac{IH}{IA}=\frac{AD}{DC}\)
Ta có đpcm.
