Question

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Kẻ đường cao AH, đường kính AD.Kẻ HE vuông góc với AB tại E, HF vuông góc với AC tại F. Chứng minh AD vuông góc với EF

Answer 1

Ta có: Tứ giác ABDC nội tiếp đường tròn (O) => ^DBC=^CAD (1)

Đường tròn (O) có đường kính AD và điểm B thuộc (O) => ^ABD vuông tại B => AB \(\perp\)BD

=> HE // BD (Quan hệ song song vuông góc) => ^DBC=^BHE (So le trong)

^BHE=^BAH (Cùng phụ ^AHE) => ^DBC=^BAH=^EAH.

Dễ thấy tứ giác AEHF là tứ giác nội tiếp (Tâm là trung điểm của AH)

=> ^EAH=^EFH. Mà ^EAH=^DBC (cmt) => ^EFH=^DBC (2)

Từ (1) và (2) => ^CAD=^EFH 

Lại có: ^EFH+^AFE=90⁰ ; ^CAD+^ADC=90⁰ => ^AFE=^ADC

=> ^CAD+^AFE=90⁰ => AD\(\perp\)EF (đpcm)