Question

Cho tam giác nhọn ABC, điểm M thuộc đoạn BC. Gọi D là điểm đối xứng với M qua AB, E là điểm đối xứng với M qua AC, Tìm vị trí của M trên BC để độ dài DE là nhỏ nhất.

Answer 1

Ta có: \(\widehat{DAB}=\widehat{MAB}\) , \(\widehat{EAC}=\widehat{MAC}\) (do tính chất đối xứng)

=> \(\widehat{DAE}=2.\widehat{BAC}\) là đại lượng không đổi khi M di chuyển trên BC.

=> \(DE^2=AD^2+AE^2-2.AD.AE.\cos\widehat{DAE}\)

Mà AD = AE = AM

=> \(DE^2=AM^2+AM^2-2.AM.AM.\cos\left(2.\widehat{BAC}\right)\)

               \(=2.AM^2\left[1-\cos2\widehat{BAC}\right]\)

=> DE nhỏ nhất khi AM nhỏ nhất => M là chân đường cao hạ từ A xuống BC