Question

cho tam giác nhọn abc, 3 đường cao aa1,bb1,cc1, h là trục tâm tam gác, chứng minh ha1/aa1+hb1/bb1+hc1/cc1=1

Answer 1

Giả sử →A1B=k→A1C;→B1C=m→B1A;→C1A=n→C1BA1B→=kA1C→;B1C→=mB1A→;C1A→=nC1B→

Theo giả thiết ta có : →AA1+→BB1+→CC1=⃗0=>→CA1+→AB1+→BC1=⃗0=>11−k→BC+11−n→AB+11−m→CA=⃗0AA1→+BB1→+CC1→=0→=>CA1→+AB1→+BC1→=0→=>11−kBC→+11−nAB→+11−mCA→=0→

hay →BC=1−k1−m→AC+1−k1−n→BABC→=1−k1−mAC→+1−k1−nBA→

mà →BC=→BA+→ACBC→=BA→+AC→

=> 1−k1−m=1;1−k1−n=11−k1−m=1;1−k1−n=1

=> k=m=nk=m=n

Theo định lí Cê va cho 3 đường đồng quy : kmn=−1kmn=−1=>k=m=n=−1k=m=n=−1

-> A1,B1,C1 là trung điểm BC,CA,AB

-> tam giác ABC đều