Question

Cho tam giác nhọc ABC, H là trực tâm. Gọi K là trung điểm của cạnh BC. Đường thẳng qua H vuông góc với HK cắt AC, AB lần lượt  tại M và N . Chứng min tam giác KMN cân

Answer 1

Gọi AD,BE,CF lần lượt là đường cao cảu tam giác ABC,mà H là trực tâm của tam giác ABC nên AD,BE,CF đồng quy tại H

Ta có:\(\widehat{HAM}=90^0-\widehat{AHE}=90^0-\widehat{BHD}=\widehat{KBH}\)

Ta lại có:\(\widehat{AHM}=90^0-\widehat{KHD}=\widehat{BKH}\)

Xét \(\Delta AHM\&\Delta BKH\)có:

\(\hept{\begin{cases}\widehat{HAM}=\widehat{KBH}\\\widehat{AHM}=\widehat{BKH}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\Delta HAM\)đồng dạng với \(\Delta BKH\left(g.g\right)\)(mk ko bt kí hiệu đồng dạng trong olm)

\(\Rightarrow\frac{AH}{BK}=\frac{HM}{HK}\)

\(CMTT:\Rightarrow\frac{AH}{KC}=\frac{HN}{HK}\)

Mà BK=KC\(\Rightarrow\frac{HM}{HK}=\frac{HN}{HK}\Rightarrow HM=HN\)

Suy ra HK là đường trung tuyến của tam giác NMK,mà HK cũng là đường cao của tam giác NMK

Suy ra tam giác NMK cân tại K(đpcm)