Đã học đường trung bình chưa nhỉ ?
nếu chưa thì ta đi cm
trên tia dối tia nm lấy điểm k sao cho nk=nm
=> tam giác amn= tam giác ckn (c-g-c) \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}am=bm=kc\\goc.amn=goc.ckn\end{cases}}\)
từ góc amn= góc ckn => am//kc <=> bm//kc =>góc bmc=góc kcn
=> tam giác bmc = tam giác kcn (c-g-c ) (1) => mk=bc=>2mn=bc =>mn=bc/2 (dpcm)
Từ (1) => góc kmc = góc ncb => mk // bc => mn // bc (dpcm)
Trên tia dối tia nm lấy điểm \(k\) sao cho \(nk=nm\)
tam giác \(amn\)= tam giác\(ckn\)⇒{\(am=kc\)
từ góc amn= góc ckn \(\Rightarrow am\\
kc\) <=> \(bm\\
kc\Rightarrow goc.bmc=goc.ckn\)
tam giác bmc = tam giác kcn (1) => mk=bc=>2mn=bc =>mn=\(\frac{bc}{2}\) (dpcm)
Từ (1) => góc kmc = góc ncb => mk // bc => mn // bc (dpcm)
Trên tia dối tia nm lấy điểm k sao cho nk = nm tam giác amn= tam giác ckn
từ góc amn= góc ckn ⇒am \\ kc <=> bm \\ kc
⇒goc.bmc = goc.ckn tam giác bmc = tam giác kcn ﴾1﴿
=> mk=bc=>2mn=bc =>mn= 2 bc ﴾dpcm﴿
ở ﴾1﴿ => góc kmc = góc ncb => mk // bc => mn // bc ﴾dpcm﴿
kẻ AH_|_BC tại H
kẻ MD_|_BC tại D
kẻ NE_|_EC tại E
ta có M là trung điểm của AB
N là trung điểm của AC
=> MN là đường trung bình của tam giác ABC
=>MN//BC
AH_|_BC
=>AH_|_MN
gọi giao điểm của AH và MN là K
xét 2 tam giác vuông ANK và NCE có:
AN=CN(gt)
góc ANK=góc NCE(MN//BC)
=>tam giác ANK=tam giác NCE(CH-GN)
=>KN=EC
cm tương tự ta có tam giác AMK=tam giác MBD(CH-GN)
=>KM=BD và AK=MD
ta có:
AH_|_BC
MD_|_BC
NE_|_BC
=>AH//MD//NE
và MN//BC
=> MN=DE
ta có:BC=DE+BD+EC=MN+KN+KM=2MN
=>MN=BC:2
1 cách chứng minh khác của MN // BC :
Nối MC,NB.Ta có :
SBMC = SABC / 2 (vì chung đường cao hạ từ C ; có đáy BM = AB/2 vì M là trung điểm AB)
SBNC = SABC / 2 (vì chung đường cao hạ từ B ; có đáy CN = AC/2 vì N là trung điểm AC)
=> SBMC = SBNC mà 2 tam giác này có chung đáy BC nên đường cao hạ từ M, N xuống BC bằng nhau
=> MNBC là hình thang => MN // BC
Cách chứng minh MN // BC gọn nhất là sử dụng 2 tam giác đồng dạng (lớp 8)
MN // BC (cmt) nên góc AMN = góc B ; góc ANM = góc C (đồng vị)
=> 2 tam giác AMN và ABC đồng dạng với nhau theo trường hợp góc - góc mà AM/AB = AN/AC = 1/2
=> MN/BC = 1/2 (đpcm)
Vì M là trung điểm của AB(giả thiết)
N là trung điểm của AC( giả thiết)
Suy ra MN là đường trung bình của tam giác ABC=> MN=1/2 BC
Trên tia đối của tia NM lấy điểm D sao cho N là trung điểm của MD Xét tam giác ANM và tam giác CND.MàAN=NC(giả thiết).Góc ANM=gócCND
NM=ND=>Tam giác ANM = tam giác CND( c.g.c)
=> AM=CD( hai cạnh tương ứng)
Và góc A= góc MCD=> AM//CD
=> MB//CDsuy ra MBCD là hình thangAM=CD
=> MD=BC và MD//BC=> MN//BC
Mà N là trung điểm của MD=> MN=1/2 MD=>MN=1/2 BC(dpcm)
