Question

Cho tam giác ABC vuông (\(\widehat{A}\) = 90^o). Trên tia đối tia BA lấy BE=AC (B nằm giữa A và E) Kẻ CF vuông góc với CB tại C và CF=CB (A và F khác phía đối với BC). Nối AF và CE cắt nhau tại O Nối EF

Chứng minh OA² + OE² +OC² + OF² =\(\frac{1}{2}\) (CE² + EF² +FC²)

  Giúp vs mik đg cần gấp

Answer 1

Tiến chữa rồi mà!

Answer 2

C/m tam giác vuông đi

ML

ML

Answer 3

Ta có: ^EBC là góc ngoài \(\Delta\)ABC => ^EBC = ^BAC + ^ACB = 90⁰ + ^ACB = ^BCF + ^ACB = ^ACF

Xét \(\Delta\)BEC và \(\Delta\)CAF: BE = CA, ^EBC = ^ACF (cmt), BC = CF => \(\Delta\)BEC = \(\Delta\)CAF (c.g.c)

=> ^BEC = ^CAF hay ^AEC = ^CAO. Mà ^CAO + ^EAO = 90⁰ => ^AEC + ^EAO = 90⁰ 

Do đó: CE vuông góc AF tại O. Ta áp dụng ĐL Pytago vào các tam giác: CAE, AOC, COF, EOF, AOE

Khi đó hệ thức cần c/m tương đương:

\(CF^2+AE^2=\frac{1}{2}\left(CE^2+EF^2+FC^2\right)\Leftrightarrow CF^2+2AE^2=CE^2+EF^2\)

\(\Leftrightarrow CF^2+2AE^2=AC^2+AE^2+EF^2\Leftrightarrow CF^2+AE^2=AC^2+EF^2\)

\(\Leftrightarrow OA^2+OC^2+OE^2+OF^2=OA^2+OB^2+OC^2+OF^2\) (luôn đúng) => ĐPCM.