Question

 

Cho tam giác ABC vuông tại A(AB<AC),đường cao AH. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE=AB.Gọi M là trung điểm của BE. CMR: HM là tia phân giác góc AHC.

Giúp mình với. Mình cần gấp. Ai trả lời đẩu tiên mình sẽ like cho.

Answer 1

Gọi giao điểm của AH và BE là I.

Xét \(\Delta\)ABE có: ^BAE = 90⁰; AB=AE => \(\Delta\)ABE vuông cân tại A

Ta có: M là trung điểm BE => AM vuông góc BE => ^AMI = 90⁰

Xét \(\Delta\)AIM và \(\Delta\)BIH: ^AMI = ^BHI (=90⁰); ^AIM = ^BIH (Đối đỉnh) 

=> \(\Delta\)AIM ~ \(\Delta\)BIH (g.g) => \(\frac{IM}{IH}=\frac{IA}{IB}\Rightarrow\frac{IM}{IA}=\frac{IH}{IB}\)

Xét \(\Delta\)HIM và \(\Delta\)BIA : \(\frac{IM}{IA}=\frac{IH}{IB}\); ^HIM = ^BIA (Đối đỉnh) => \(\Delta\)HIM ~ \(\Delta\)BIA (c.g.c)

=> ^MHI = ^ABI. Mà ^ABI = ^ABE = 45⁰ (Do \(\Delta\)ABE vuông cân tại A) => ^MHI = 45⁰

Hay ^AHM = 45⁰. Lại có: ^AHC = 90⁰ => ^AHC = 2.^AHM => HM là phân giác ^AHC (đpcm).