Question

cho tam giác ABC vuông tại A nội tiếp đường tròn (O) có H là hình chiếu của A trên BC.Gọi M,N lần lượt là điểm chính giữa của cung AB,AC.gọi O₁,O₂ Lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp tam giác AHB,tam giác AHC .chứng minh rằng: tứ giác BCO₁O₂ là tứ giác nội tiếp

Answer 1

Đề bài bị thừa hai điểm M,N nhé bạn.

Gọi X,Y tương ứng là tiếp điểm của hai đường tròn \(\left(O_1\right),\left(O_2\right)\)  với \(BC\). Ta có \(\Delta O_1XH\sim\Delta O_2YH\) (cùng là tam giác vuông cân). Suy ra \(\frac{O_1H}{O_2H}=\frac{r_1}{r_2}\) với \(r_1,r_2\) tương ứng là bán kính đường tròn nội tiếp hai tam giác \(\Delta AHB,\Delta CHA.\) Mà \(\Delta AHB\sim\Delta CHA\)  nên \(\frac{r_1}{r_2}=\frac{AB}{CA}\to\frac{O_1H}{O_2H}=\frac{AB}{CA}\to\Delta O_1HO_2\sim\Delta BAC\)  (c.g.c). Suy ra \(\angle ABC+\angle HO_2O_1=90^{\circ}.\)

Đến đây ta có \(\angle CO_2O_1+\angle O_1BC=\angle HO_2C+\angle HO_2O_1+\angle O_1BC\)

\(=180^{\circ}-\frac{\angle AHC+\angle ACH}{2}+\angle HO_2O_1+\angle O_1BC=180^{\circ}-\frac{180^{\circ}-\angle HAC}{2}+\angle HO_2O_1+\angle O_1BC\)

\(=90^{\circ}+\angle HO_2O_1+\angle ABC=180^{\circ}.\)

Vậy tứ giác \(BCO_1O_2\) nội tiếp.