Question

Cho tam giác ABC vuông tại A . Gọi M, N lần lượt là hai điểm trên cạnh AB và AC sao cho AM = \(\dfrac{1}{3}\) AB và \(AN = \dfrac{1}{3} AC\) . Biết độ dài BN = sin\(\alpha\) , \(CM = cos\alpha\) với \(0^0 <\alpha <90^0\) . Tính cạnh huyền BC

Answer 1

Đặt AM = a ; AN = b thì AB = 3a ; AC = 3b

Áp dụng định lý Py-ta-go vào các tam giác vuông ABN và ACM , ta có :

\(AB^2+AN^2 = BN^2 ; AM^2 + AC^2 = CM^2\)

\(\Rightarrow\) \(9a^2 +b^2 = sin^2\alpha ; a^2 +9b^2 = cos^2\alpha\)

Do đó : \(10(a^2+b^2) = sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1\)

\(a^2+b^2 = \dfrac{1}{10}\)

Ta có : \(BC^2 = (3a)^2 + (3b)^2 \)

\(BC^2 = 9(a^2+b^2) \)

\(BC^2 = \dfrac{9}{10}\)

\(\Leftrightarrow\) \(BC= \sqrt{\dfrac{9}{10}}\)

\(\Rightarrow\) \(BC = \dfrac{3}{10} \sqrt{10}\)