Question

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác BE. Kẻ EH vuông góc với BC. Gọi K là giao điểm của AB và HE. Chứng minh rằng 

a) BE là trung trực của đoạn thẳng AH

b) BE vuông góc với KC

c) EK = EC

d) AE<EC

Answer 1

a)Ta CM được 2 tam giác vuôg ABE=HBE (cạnh huyền-góc nhọn)   =>  AB=HB(cạh tươg ứg)

Ta tiếp tục CM 2 tam giác ABD=HBD(c.g.c)  => AD=HD(cạh tươg ứg) (1) và góc ADB=góc HDB(góc tươg ứg)

Mà hai góc trên lại kề bù nhau =>ADB=HBD=180 độ/2=90 độ   =>   BE vuông góc với AH(2)

Từ (1) và (2) => BE là trung trực của AH(ĐPCM)

b) kéo dài BE cát KC tại F

Ta CM được hai tam giác vuông AEK=HEC(cạnh góc vuông-góc nhọn)  =>AK=HC(3)

Mà theo a ta có AB=HB(4)

Từ (3) và (4)  => BK=BC

Ta CM được 2 tam giác BKF=BCF(c.g.c)=>góc BFK= góc BFC(góc tươg ứg)

Mà hai góc này kề bù nên BFK=BFC=180 độ/2=90 độ=>BE vuông góc với KC(ĐPCM)

c)Ta CM được 2 tam giác BEK=BEC(c.g.c)=>EK=EC(cạnh tươg ứg)

d)TA có AE=HE(cạnh tương ứng của tam giácABE=HBE)

mà trong tam giác vuông HEC ta có HE<EC( vì trong tam giác vuông cạnh huyền luôn lớn nhất)

Vậy nên AE<EC(ĐPCM)