Cho tam giác ABC vuông tại A (AB<AC) vẽ đường cao AH (H thuộc BC)
a) Chứng minh tam giác ACH đồng dạng với tam giác BCA, từ đó suy ra AH×BC=AB×AC
b) Gọi K,I lần lượt là trung điểm HC và AH (K thuộc HC, I thuộc AH). Chứng minh tam giác HIK đồng dạng với tam giác ABC.
c) Vẽ HE,HF lần lượt vuông góc với AB,AC (E thuộc AB, F thuộc AC).
d) Cho BA=3cm, BC=5cm. Tính AE.
Xét \(\Delta BAC\) Và \(\Delta ACH\) có :
\(\widehat{BAC}\)\(=\)\(\widehat{AHC}\) ( cùng = 900 )
\(\widehat{C}\)là góc chung
\(\Rightarrow\) \(\Delta BAC\)\(~\)\(\Delta AHC\) ( g - g ) (1)
\(\Rightarrow\)\(\frac{BC}{AC}=\frac{AB}{AH}\)\(\Rightarrow BC.AH=AB.AC\)
b) Xét \(\Delta AHC\)có :
K là trung điểm của CH
I là trung điểm của AH
\(\Rightarrow\)IK // AC
Do IK // AC :
\(\Rightarrow\)\(\Delta HIK\)\(~\)\(\Delta HAC\) (2)
Từ (1) và (2) =) \(\Delta HIK\)\(~\)\(\Delta ABC\)
Do \(HE\)\(\perp\)\(AB\)\(\Rightarrow\)\(\widehat{A\text{E}H}\)= 900
\(HF\)\(\perp\)\(AC\)\(\Rightarrow\)\(\widehat{FHE}\)= 900
Xét tứ giác AEHF có:
\(\widehat{BAC}=\widehat{A\text{E}H}=\widehat{FHE}\)\(=90^0\)
\(\Rightarrow\)AEHF là hình chữ nhật \(\Rightarrow\) AE = HF
Xét \(\Delta ABC\)\(\perp\)tại \(A\)
Áp dụng định lí py - ta - go
BC2 = AB2 + AC2
52 = 32 + AC2
AC2 = 16
AC = 4 ( cm )
Ta có ; \(S_{\Delta ABC}\)\(=\frac{AB.AC}{2}\)\(=\frac{3.4}{2}=6\)cm2
\(S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}.BC.AH\)\(=\frac{1}{2}.5.AH=2,5.AH\)
\(\Rightarrow2,5.AH=6\)\(\Rightarrow AH=2,4\)cm
Xét \(\Delta AHC\)\(\perp\)tại A
Áp dụng định lí py - ta - go
AC2 = AH2 + HC2
42 = (2,4)2 + CH2
CH2 = 10,24
CH = 3,2 cm
Ta có : \(S_{\Delta AHC}=\frac{AH.AC}{2}=\)\(\frac{2,4.3,2}{2}=3,84\)cm2
\(S_{\Delta AHC}=\frac{1}{2}.AC.HF\)\(=\frac{1}{2}.4.HF=2.HF\)
\(\Rightarrow\)2.HF = 3.84
HF = 1.92 cm
\(\Rightarrow A\text{E}=1,92\)( Vì HF = AE , cmt)
