Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ ($AB \ne AC$) có đường cao $AH$ và $I$ là trung điểm của $BC$. Đường tròn tâm $O$ đường kính $AH$ cắt $AB$, $AC$ lần lượt tại $M$ và $N$ ($M$ và $N$ khác $A$).
a. Chứng minh $AB.AM = AC.AN$.
b. Chứng minh tứ giác $BMNC$ là tứ giác nội tiếp.
c. Gọi $D$ là giao điểm của $AI$ và $MN$. Chứng minh $\dfrac1{AD} = \dfrac1{HB} + \dfrac1{HC}.$
AMAC=ANAB" role="presentation" style="border:0px; direction:ltr; display:inline-block; float:none; font-size:18.08px; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; overflow-wrap:normal; padding:1px 0px; position:relative; white-space:nowrap; word-spacing:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">.
AMAC=ANAB" role="presentation" style="border:0px; direction:ltr; display:inline-block; float:none; font-size:18.08px; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; overflow-wrap:normal; padding:1px 0px; position:relative; white-space:nowrap; word-spacing:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">.
1AD=BH+CHBH.CH⇒1AD=1HB+1HC." role="presentation" style="border:0px; direction:ltr; display:inline-block; float:none; font-size:18.08px; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; overflow-wrap:normal; padding:1px 0px; position:relative; white-space:nowrap; word-spacing:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">
\(\Rightarrow\) là tứ giác nội tiếp.
TRẢ HIỂU GÌ ?????????????????????
a.
Đường tròn (O)(O), đường kính AHAH có \widehat{AMH} = 90^{\circ} \Rightarrow HM \perp AB
AMH
=90
∘
⇒HM⊥AB.
\Delta AHBΔAHB vuông tại HH có HM \perp AB \Rightarrow AH^2 = AB . AMHM⊥AB⇒AH
2
=AB.AM.
Chứng minh tương tự AH^2 = AC . ANAH
2
=AC.AN.
Suy ra AB.AM = AC.ANAB.AM=AC.AN.
b.
Theo câu a ta có AB.AM = AC.AN \Rightarrow \dfrac{AM}{AC} = \dfrac{AN}{AB}AB.AM=AC.AN⇒
AC
AM
=
AB
AN
.
Tam giác AMNAMN và tam giác ACBACB có \widehat{MAN}
MAN
chung và \dfrac{AM}{AC} = \dfrac{AN}{AB}
AC
AM
=
AB
AN
.
\Rightarrow \Delta AMN \sim \Delta ACB⇒ΔAMN∼ΔACB (c.g.c).
\Rightarrow \widehat{AMN} = \widehat{ACB}⇒
AMN
=
ACB
.
Suy ra BMNCBMNC là tứ giác nội tiếp.
c.
Tam giác ABCABC vuông tại AA có II là trung điểm của BC \Rightarrow IA = IB = ICBC⇒IA=IB=IC.
\Rightarrow \Delta IAC⇒ΔIAC cân tại I \Rightarrow \widehat{IAC} = \widehat{ICA}I⇒
IAC
=
ICA
.
Theo câu b ta có \widehat{AMN} = \widehat{ACB} \Rightarrow \widehat{IAC} = \widehat{AMN}
AMN
=
ACB
⇒
IAC
=
AMN
.
Mà \widehat{BAD} + \widehat{IAC} = 90^{\circ} \Rightarrow \widehat{BAD} + \widehat{AMN} = 90^{\circ} \Rightarrow \widehat{ADM} = 90^{\circ}
BAD
+
IAC
=90
∘
⇒
BAD
+
AMN
=90
∘
⇒
ADM
=90
∘
.
Ta chứng minh \Delta ABCΔABC vuông tại AA có AH \perp BC \Rightarrow AH^2 = BH.CHAH⊥BC⇒AH
2
=BH.CH.
Mà BC = BH + CH \Rightarrow \dfrac1{AD} = \dfrac{BH+CH}{BH.CH} \Rightarrow \dfrac 1{AD} = \dfrac1{HB} + \dfrac1{HC}.BC=BH+CH⇒
AD
1
=
BH.CH
BH+CH
⇒
AD
1
=
HB
1
+
HC
1
.
.jpg)
.jpg)
Đường tròn tâm O bán kính AH có góc AMH = 90 độ
suy ra HM vuông góc với AB
Tam giác AHB vuông tại H có HM vuông góc với AB
suy ra AH2 = AB . AM
chứng minh tương tự AH2 = AC . AN
suy ra AB . AM = AC . AN