Cho tam giác ABC vuông tại A, ( AB < AC) ngoại tiếp đường tròn tâm O. Gọi D, E, F lần lượt là tiếp điểm của đường tròn vs các cạnh AB, AC, BC . BO cắt EF tại I, M là điểm di động trên CE.
a) Tính góc BIF = ?
b) Gọi H là giao điểm của BM và EF. CMR: nếu AM = AB thì tam giác ABHI nội tiếp.
c) N là giao điểm của BM và cung nhỏ EF của đường tròn tâm O, P và Q lần lượt là hình chiếu của N trên cạnh DE, DF.
Xác định vị trí của M để PQ đạt giá trị lớn nhất.
GIÚP MIK CÁI< THANK MINA NHÌU ))
a) Nối DA. Ta thấy ngay \(\Delta BDI=\Delta BFI\left(c-g-c\right)\Rightarrow\widehat{BDI}=\widehat{BFI}\Rightarrow\widehat{ODI}=\widehat{OFI}\)
Lại có \(\widehat{OFI}=\widehat{OEF}\) (Do OE = OF)
Vậy nên \(\widehat{ODI}=\widehat{OEI}\) hay tứ giác DOIE nội tiếp. Vậy \(\widehat{DIO}=\widehat{DEO}=45^o\) (CM được ADOE là hình vuông)
Do \(\Delta BDI=\Delta BFI\left(c-g-c\right)\Rightarrow\widehat{BID}=\widehat{BIF}\)
Vậy \(\widehat{BIF}=45^o\)
b) Nếu AB = AM thì DE // BM . Khi đó \(\widehat{EHM}=\widehat{DEH}=\widehat{DEO}+\widehat{OEF}=45^o+\widehat{OEF}=\widehat{BIF}+\widehat{OFE}=\widehat{BOF}\)
Lại có \(\widehat{BHF}=\widehat{EHM}\Rightarrow\widehat{BHF}=\widehat{BOF}\) hay BOHF là tứ giác nội tiếp. Vậy \(\widehat{BHO}=90^o\)
Do AB = AM nên OB = OM . Vậy OH là đường cao đồng thời trung tuyến. Vậy H là trung điểm BM.
Suy ra AH là phân giác góc A hay \(\widehat{BAH}=45^o=\widehat{BIH}\Rightarrow\) ABHI là tứ giác nội tiếp.
c) PQ là dây cùng của đường tròn đường kính DM nên PQ lớn nhất khi DM lớn nhất. Vậy gọi N là điểm đối xứng với D qua O. Khi M là giao điểm của BN với AO thì PQ lớn nhất. Khi đó PQ = EF.
