Question

Cho tam giác ABC vuông cân tại C, CA=CB=a. E thuộc cạnh BC. Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với AE tại H cắt AC tại K. 

Chứng minh  BE.BC + AC . AK không đổi

Answer 1

 Do \(CA=CB=a\) nên \(BE.BC+AC.AK=a\left(AK+BE\right)\) 

 Ta chứng minh \(AK+BE\) không đổi. Thật vậy, gọi P là giao điểm của KE và AB. Quan sát thấy E là trực tâm tam giác ABK \(\Rightarrow KP\perp AP\) tại P. Lại có \(\widehat{KAP}=45^o\) nên suy ra \(\widehat{AKP}=45^o\). Từ đó suy ta tam giác CEK cân tại C hay \(CE=CK\). 

 Từ đó \(AK+BE=AC+CK+BC-CE=2a\). Vậy \(BE.BC+AC.AK=2a^2\) không đổi (đpcm)