Question

Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB, AC. Từ A và N lần lượt hạ vuông góc xuống CM tại H và K. ⦁ Chứng minh rằng tam giác KCN= tam giác HAM , tam giác AHB=CKA ⦁ Chứng minh rằng tam giác HAK cân. ⦁ Chứng minh rằng tam giác BAK cân. ⦁ Đường thẳng qua M và vuông góc với AK cắt AH tại E. Chứng minh rằng: KH là phân giác góc BKE

Answer 1

Sửa đề: Từ A kẻ AK⊥CM tại K và từ N kẻ NH⊥CM tại H

a: Sửa đề: Chứng minh ΔHCN=ΔKAM và ΔAKB=ΔCHA

Ta có: \(CN=NA=\frac{CA}{2}\)

\(AM=MB=\frac{AB}{2}\)

mà CA=AB

nên CN=NA=AM=MB

Xét ΔHCN vuông tại H và ΔKAM vuông tại K có

CN=AM

\(\hat{HCN}=\hat{KAM}\left(=90^0-\hat{CMA}\right)\)

Do đó: ΔHCN=ΔKAM

=>HC=KA; HN=KM

Xét ΔAKB và ΔCHA có

AB=CA

\(\hat{KAB}=\hat{HCA}\left(=90^0-\hat{KAC}\right)\)

KA=HC

Do đó: ΔAKB=ΔCHA

b: ΔAKB=ΔCHA

=>BK=AH và \(\hat{AKB}=\hat{CHA}\)

Xét ΔCAK có

N là trung điểm của AC

NH//AK

Do đó: N là trung điểm của CK

=>CH=HK

mà CH=AK

nên HK=AK

=>ΔHKA cân tại K

c: ΔHKA cân tại K có \(\hat{HKA}=90^0\)

nên ΔHKA vuông cân tại K

=>\(\hat{KHA}=45^0\)

Ta có: \(\hat{KHA}+\hat{CHA}=180^0\) (hai góc kề bù)

=>\(\hat{CHA}=180^0-45^0=135^0\)

=>\(\hat{AKB}=\hat{CHA}=135^0\)

Ta có: \(\hat{AKB}+\hat{HKA}+\hat{HKB}=360^0\)

=>\(\hat{HKB}=360^0-90^0-135^0=135^0\)

Xét ΔBKA và ΔBKH có

BK chung

\(\hat{BKA}=\hat{BKH}\)

KA=KH

Do đó: ΔBKA=ΔBKH

=>BA=BH

=>ΔBAH cân tại B