Question

Cho tam giác ABC. Vẽ tia BD sao cho BD vuông góc với AC ; vẽ tia EC vuông góc với AB. M , N lần lượt là trung điểm của BC; DE .CMR: MN vuông góc với DE

Answer 1

Nối EM; DM. Chứng minh được  EM = DM vì cùng = BC/2

+) Bài toán phụ : Nếu tam giác ABC có trung tuyến AM thì AM = BC/2

Chứng minh: 

Trên tia đối của tia MA lấy D sao cho MA = MD

- Tam giác AMB = DMC ( c - g- c) vì: AM = DM; góc AMB = DMC (đối đỉnh); MB = MC 

=> góc ABM = MCD ( 2 góc tương ứng) Mà 2 góc này ở vị trí so le trong nên AB // CD 

Ta có: AB | AC nên CD | AC =>góc ACD = 90^o

- Tam giác ABC = tam giác CDA (c- g- c) vì: chung cạnh AC; góc BAC = DCA (= 90^o) ; AB = CD 

=> BC = DA Mà AM = DA/2 nên AM = BC/2 (đpcm)

+) Áp dụng:

Tam giác BEC vuông tại E (do CE | AB ) có EM là trung tuyến nên EM = BC/2

Tam giác BDC vuông tại D (do BD | AC) có DM là trung tuyến nên DM = BC/2

=> EM = DM => tam giác AMD cân tại M

Lại có MN là trung tuyến (do N là trung điểm của DE) nên đồng thời là đường cao 

=> MN | DE  (đpcm)