Lời giải:
Đặt $\frac{MB}{MC}=\frac{\overrightarrow{MB}}{\overrightarrow{CM}}=k$
$\Rightarrow \overrightarrow{MB}=k\overrightarrow{CM}$
$\Leftrightarrow (k+1)\overrightarrow{MB}=k\overrightarrow{CB}$
$\Rightarrow \overrightarrow{MB}=\frac{k}{k+1}\overrightarrow{CB}; \overrightarrow{CM}=\frac{1}{k+1}\overrightarrow{CB}$
Do đó:
$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CM})$
$= \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}-\frac{k}{k+1}\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{AC}+\frac{1}{k+1}\overrightarrow{CB})$
$=\frac{1}{2}[\overrightarrow{AB}-\frac{k}{k+1}(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB})+\overrightarrow{AC}+\frac{1}{k+1}(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB})]$
$=\frac{1}{k+1}\overrightarrow{AB}+\frac{k}{k+1}\overrightarrow{AC}(*)$
Lại có:
$5\overrightarrow{AK}=2(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BK})+3(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CK})$
$=2\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AC}+(2\overrightarrow{BK}+3\overrightarrow{CK})=2\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AK}$
$\Rightarrow \overrightarrow{AK}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}(**)$
Từ $(*); (**)$ mà $A,K,M$ thẳng hàng nên $\frac{3}{k+1}=\frac{2k}{k+1}$
$\Rightarrow k=\frac{3}{2}$
