Lỡ xóa Sketpad rồi nên vẽ hình trên này!
Vẽ đường tròn tâm K ngoại tiếp tam giác AMN.
Gọi E, F lần lượt là các giao điểm thứ hai của AB và AC với đường tròn (K)
Ta có: \(\widehat{A_1}=\widehat{A_2}\); suy ra \(ME=NF\).Từ đó ta có:
Tứ giác MNFE là hình thang cân. Do đó FE // BC
Suy ra \(\frac{EB}{AB}=\frac{FC}{AC}\Leftrightarrow\frac{FB}{FC}=\frac{AB}{AC}\)(1)
Ta có: \(\widehat{A_1}=\widehat{BNE}\). Nên \(\Delta BMA~\Delta BEN\)\(\Rightarrow\frac{MB}{EB}=\frac{AB}{NB}\Leftrightarrow MB.NB=EB.AB\)(2)
Tương tự ta có: \(\widehat{A_2}=\widehat{CMF}\)nên \(\Delta CAN~\Delta CFM\)
Suy ra \(\frac{MC}{FC}=\frac{AC}{NC}\Leftrightarrow MC.NC=FC.AC\left(3\right)\)
Từ (2) và (3) ta có: \(\frac{MB.NB}{MC.NC}=\frac{EB.AB}{FC.AC}\)(4)
Từ (1) và (4) suy ra \(\frac{MB.NB}{MC.NC}=\left(\frac{AB}{AC}\right)^2\)(đpcm)
