Trước hết ta chứng minh \(\frac{OA}{AM}+\frac{OB}{BN}+\frac{OC}{CP}=1\)
Thậy vậy \(\frac{OM}{AM}+\frac{ON}{BN}+\frac{ON}{CP}=\frac{S_{BOC}}{S_{ABC}}+\frac{S_{AOC}}{S_{ABC}}+\frac{S_{AOB}}{S_{ABC}}=1\)
Đặt \(\frac{OM}{AM}=x;\frac{ON}{BN}=y;\frac{OP}{CP}=z\Rightarrow x+y+z=1.\)
Khi đó \(a=\frac{OA}{OM}=\frac{AM-OM}{OM}=\frac{AM}{OM}-1=\frac{1}{x}-1\Rightarrow x=\frac{1}{a+1}\)
Tương tự \(\frac{OB}{ON}=b\Rightarrow y=\frac{1}{b+1};\frac{OC}{OP}=c\Rightarrow z=\frac{1}{c+1};\)
Vậy thì \(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}=1.\)
Nếu cả a, b, c đều nhỏ hơn 2 thì \(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}>\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=1\) (Vô lý)
Vậy phải tồn tại một tỉ số không nhỏ hơn 2.
Nếu cả a, b, c đều lớn hơn 2 thì \(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}< \frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=1\) (Vô lý)
Vậy phải tồn tại một tỉ số không lớn hơn 2.