Question

cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O,2 đường cao AD và BK cắt nhau tại H.AD cắt đường tròn tại E. a/ chứng minh BC là tia phân giác của góc HBE b/chứng minh e đối xứng vs H qua BC.

Answer 1

a) Ta có: BK \(\perp\)AC ; AD \(\perp\)BC 

=> ^ADB = ^BKA = 90 độ 

=> Tứ giác AKDB nội tiếp 

=> ^KAH = ^DBH 

Mà ^KAH = ^CAE = ^CBE = ^DBE 

=> ^DBH = ^DBE 

=> BD là tia phân giác ^HBE  hay BC là tia phân giác ^HBE

b) Xét \(\Delta\)HBE có: BD là đường cao đồng thời là đường phân giác 

=> \(\Delta\)HBE cân 

=> BD là đường trung tuyến => D là trung điểm HE  và HE vuông BC tại D 

=> E và H đối xứng với nhau qua BC

Answer 2

a ) Ta có : \(BK\perp AC,AD\perp BC\Rightarrow\widehat{AKB}=\widehat{ADB}=90^0\)

\(\Rightarrow AKDB\) nội tiếp 

\(\Rightarrow\widehat{EBC}=\widehat{EAC}=\widehat{DAK}=\widehat{KBD}=\widehat{HBD}\)

\(\Rightarrow BC\) là tia phân giác \(\widehat{HBE}\)

b ) Vì BC là tia phân giác \(\widehat{HBE},BD\perp AE\)

\(\Rightarrow\Delta BHE\) cân tại B 

=> DH = DE 

Lại có \(HE\perp BC\Rightarrow E,H\) đối xứng qua BC