Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Từ điểm M bất kì trên đường tròn (O) kẻ MP, MQ, MR lần lượt vuông góc với các đường thẳng BC, AC, AB
a) Chứng minh các tứ giác BPMR, CQMP nội tiếp
b) Chứng minh 3 điểm P, Q, R thẳng hàng
$a)$
+ Xét tứ giác $BPMR$ có:
\(\widehat{MPB}=90^0\) (góc nội tiếp chắn cung $BM$)
\(\widehat{MRB}=90^0\) (góc nội tiếp chắn cung $BM$)
\(\Rightarrow\) \(\widehat{MPB}=\widehat{MRB}=90^0\)
Vậy tứ giác $BPMR$ nội tiếp.
+ Xét tứ giác $CQPM$ có:
\(\widehat{CQM}=90^0\) (góc nội tiếp chắn cung $MC$)
\(\widehat{CPM}=90^0\) (góc nội tiếp chắn cung $MC$)
\(\Rightarrow\widehat{CQM}=\widehat{CPM}=90^0\)
Vậy tứ giác $CQMP$ nội tiếp.
$b)$
Dễ thấy tứ giác $PBMQ$ nội tiếp (vì $\widehat{BPM}=\widehat{BQM}=90^0$)
$\Rightarrow \widehat{PBM}=\widehat{PQM}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung $PM$)
Lại có: $\widehat{PBM}=\widehat{ACM}$ (do tứ giác $ACMB$ nội tiếp)
$\Rightarrow \widehat{PQM}=\widehat{ACM}(1)$
Mặt khác: $\widehat{MQC}=\widehat{MRC}=90^0(gt)$
Do tứ giác $MQRC$ nội tiếp
$\Rightarrow \widehat{MQR}+\widehat{ACM}=180^0(2)$
Từ $(1)$ và $(2)$ $\Rightarrow \widehat{PQM}+\widehat{MQR}=180^0$
Chứng tỏ ba điểm $P,Q,R$ thẳng hàng $\Rightarrow$ đpcm
