Gọi giao điểm thứ hai của AZ,BZ,CZ với đường tròn (O) là S,T,R. Cho đường thẳng DF cắt các đoạn ST,RT lần lượt tại K,L. Gọi AK giao CL tại V. Gọi Q là trung điểm đoạn DF.
Trước hết, ta thấy: 5 điểm A,R,S,C,T cùng thuộc (O), AV cắt RT tại K, AS cắt CR ở Z, CV cắt ST ở L
Đồng thời có bộ điểm: (K Z L) thẳng hàng. Suy ra: Hệ điểm (A R V S C T) cùng thuộc 1 đường tròn (ĐL Pascal đảo)
Áp dụng ĐL Con Bướm cho 4 điểm A,B,S,T trên (O) thì có Z là trung điểm của FL. Mà P là trung điểm CF
Nên ZP là đường trung bình của \(\Delta\)FLC => ZP // CL. Tương tự: ZM // AK
Do đó: 2 góc ^MZP và ^AVC có 2 cặp cạnh song song => ^MZP = ^AVC = ^ABC (Do V thuộc (O) cmt)
Dễ thấy MQ là đường trung bình \(\Delta\)ADF => MQ // AB. Tương tự: QP // BC => ^MQP = ^ABC
Từ đó: ^MZP = ^MQP => Tứ giác MZQP nội tiếp đường tròn.
Nếu ta gọi trung điểm của DE,EF thứ tự là G,U thì như lập luận trên, các tứ giác NPUX, MYGN nội tiếp
Ta sẽ chứng minh các đường tròn (MPQ),(NPU),(MNG) đồng quy
Thật vậy: Gọi giao điểm thứ hai của (MPQ) và (NPU) là J => ^NJM = ^MJP + ^NJP = ^MQP + ^NUP
Bằng tính chất đường trung bình, góc có cặp cạnh song song dễ có:
^MQP = ^ABC, ^NUP = ^BAC => ^NJM = ^ABC + ^BAC = 1800 - ^ACB = ^MGN
Suy ra: Tứ giác MJNG nội tiếp => (MNG) cũng đi qua J => (MPQ),(NPU),(MNG) đồng quy
Hay 3 đường tròn (NPX),(YMN),(ZNP) đồng quy (tại J) (đpcm).
(P/S: Đề sai nhé, phải là (XNP),(YNM),(ZNP) đồng quy)
