a: Xét (O) có
\(\hat{ACE}\) là góc nội tiếp chắn cung AE
\(\hat{BCE}\) là góc nội tiếp chắn cung BE
\(\hat{ACE}=\hat{BCE}\)
Do đó: sđ cung AE=sđ cung BE
Xét (O) có
\(\hat{ABD}\) là góc nội tiếp chắn cung AD
\(\hat{CBD}\) là góc nội tiếp chắn cung CD
\(\hat{ABD}=\hat{CBD}\)
Do đó: sđ cung AD=sđ cung CD
Gọi K là giao điểm thứ hai của AI và (O)
Xét ΔABC có
BD,CE là các đường phân giác
BD cắt CE tại I
Do đó: I là tâm đường tròn nội tiếp ΔABC
=>AI là phân giác của góc BAC
=>AK là phân giác của góc BAC
Xét (O) có
\(\hat{KAB}\) là góc nội tiếp chắn cung KB
\(\hat{KAC}\) là góc nội tiếp chắn cung KC
\(\hat{KAB}=\hat{KAC}\)
Do đó: sđ cung KB=sđ cung KC
Xét (O) có \(\hat{AIE}\) là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn chắn hai cung AE và CK
=>\(\hat{AIE}\) =1/2(sđ cung AE+sđ cung CK)
=1/2(sđ cung EB+sđ cung BK)
=1/2*sđ cung EK
Xét (O) có \(\hat{EAK}\) là góc nội tiếp chắn cung EK
=>\(\hat{EAK}\) =1/2*sđ cung EK
=>\(\hat{EAI}=\hat{EIA}\)
=>ΔEAI cân tại E
Xét (O) có \(\hat{AID}\) là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn chắn hai cung AD và BK
=>\(\hat{AID}\) =1/2(sđ cung AD+sđ cung BK)
=1/2(sđ cung DC+sđ cung CK)
=1/2 sđ cung DK
Xét (O) có \(\hat{DAK}\) là góc nội tiếp chắn cung DK
=>\(\hat{DAK}\) =1/2*sđ cung DK
=>\(\hat{DAI}=\hat{DIA}\)
=>ΔDAI cân tại D
Xét (O) có \(\hat{AMD}\) là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn chắn hai cung AD và BE
=>\(\hat{AMD}\) =1/2(sđ cung AD+sđ cung BE)
=1/2(sđ cung AD+sđ cung AE)
=1/2*sđ cung DE
Xét (O) có \(\hat{ANE}\) là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn chắn hai cung AE và DC
=>\(\hat{ANE}=\frac12\) (sđ cung AE+sđ cung DC)
\(=\frac12\) (sđ cung AE+sđ cung AD)
=1/2*sđ cung DE
=>\(\hat{ANE}=\hat{AMD}\)
=>\(\hat{AMN}=\hat{ANM}\)
=>ΔAMN cân tại A
b: TA có: DA=DI
=>D nằm trên đường trung trực của AI(1)
Ta có: EA=EI
=>E nằm trên đường trung trực của AI(2)
Từ (1),(2) suy ra DE là đường trung trực của AI
=>DE⊥AI
N nằm trên đường thẳng DE
=>N nằm trên đường trung trực của AI
=>NA=NI(3)
Ta có: M nằm trên DE
=>M nằm trên đường trung trực của AI
=>MA=MI(4)
ΔAMN cân tại A
=>AM=AN(5)
Từ (3),(4),(5) suy ra AM=MI=IN=NA
=>AMIN là hình thoi
