Gọi \(I\)là giao điểm của \(BC\)và \(AM\)còn \(H\)và \(K\)theo thứ tự là hình chiếu của \(B\)và \(C\)trên \(AM\)
Ta có: \(BI\ge BH\)và \(CI\ge CH\)( quan hệ đường xiên - đường vuông góc )
Đẳng thức xảy ra khi \(AM\perp BC\)
Suy ra:
\(MA.BC=MA.\left(BI+BC\right)\ge MA.\left(BH+CK\right)\)
\(\Leftrightarrow MA.BC\ge MA.BH+MA.CK\)
\(\Leftrightarrow MA.BC\ge2S_{MAB}+2S_{MCA}\) \(\left(1\right)\)
Chứng minh tương tự ta cũng có: \(\Leftrightarrow MA.BC\ge2S_{MAB}+2S_{MCA}\) \(\left(2\right)\)
( Đẳng thức xảy ra khi \(MB\perp CA\))
\(MC.AB\ge2S_{MCA}+2S_{MBC}\) \(\left(3\right)\)
Cộng từng vế với ba bất đẳng thức \(\left(1\right)\)và \(\left(2\right)\)và \(\left(3\right)\)ta được:
\(MA.BC+MB.CA+MC.AB\ge4.\left(S_{MAB}+S_{MCA}+S_{ABC}\right)\)
Đặt \(S=S_{ABC}\)thì \(S\)không đổi và \(T\ge4S\)
Vậy: \(T_{min}=4S\)khi \(M\)là trực tâm \(\Delta ABC\)
Dựng hình bình hành AMBN. Lúc đó \(MA.BC=BN.BC\ge2S_{BCN};MB.CA\ge2S_{CAN}\)
Suy ra \(MA.BC+MB.CA\ge2\left(S_{BCN}+S_{CAN}\right)=2\left(S_{ABC}+S_{AMB}\right)\) (Vì tứ giác AMBN là hình bình hành)
Tương tự: \(MB.CA+MC.AB\ge2\left(S_{ABC}+S_{BMC}\right);MC.AB+MA.BC\ge2\left(S_{ABC}+S_{CMA}\right)\)
Do vậy \(2\left(MA.BC+MB.CA+MC.AB\right)\ge2\left(3S_{ABC}+S_{AMB}+S_{BMC}+S_{CMA}\right)=8S_{ABC}\)
Suy ra \(2T\ge8S_{ABC}\Rightarrow T\ge4S_{ABC}.\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi BN vuông góc BC, AN vuông góc AC <=> M là trực tâm \(\Delta\)ABC.
