Cho tam giác ABC nhọn, trực tâm H. Đườn thẳng vuông góc với AB kẻ từ B cắt đường thẳng vuông góc với AC kẻ từ C tại D. a. Chứng minh tứ giác BHCD là hình bình hành. b. Gọi M là trung điểm BC, O là trung điểm AD. Chứng minh 2OM = AH. c. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Chứng minh ba điểm H, G, O thẳng hàng
Bạn tự vẽ hình nha !!.
Câu a, Do BD vuông góc với AB, CH vuông góc với AB nên BD song song với CH.
Tương tự, BH song song với DC.
Suy ra BHCD là hình bình hành (đpcm)
Câu b, Do BHCD là hình bình hành nên BC,HD cắt nhau tại trung điểm mỗi đường suy ra H,M,D thẳng hàng.
Xét tam giác AHD có M là trung điểm HD, O là trung điểm AD suy ra OM là đường trung bình suy ra OM song song với AH và OM = 1/2 AH (đpcm)
Câu c, Gọi G' là giao của AM với HO.
Áp dụng định lí Ta-let vào vào giác AGH có AH song song với OM ta được
\(\frac{G'M}{G'A}=\frac{OM}{AH}=\frac{1}{2}\Rightarrow\frac{AG'}{AM}=\frac{2}{3}\) mà G' nằm trên tiếp tuyến AM của tam giác ABC suy ra G' là trọng tâm của tam giác ABC suy ra G trùng G' suy ra H,G,O thằng hàng (đpcm)
