Cho tam giác ABC nhọn, M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC và BC.
1. Các tứ giác BMNC và BMNP là hình gì? Tại sao?
2. Gọi H là trực tâm tam giác ABC; D, E, F lần lượt là trung điểm của BH, CH, AH. Chứng minh DN = ME.
3. Gọi O là giao điểm ME và DN. Chứng minh ba điểm P, O, F thẳng hàng.
Giải:
a, MN là đường trung bình tam giác ABC
\(\Rightarrow\)MN // BC (1)
\(\Rightarrow BMNC\) là hình thang
NP là đường trung bình tam giác ABC
\(\Rightarrow\)NP // AB (2)
Từ (1), (2) \(\Rightarrow BMNP\) là hình bình hành
b, Gọi giao điểm của AH với MN, DE lần lượt là K, N
MD là đường trung bình tam giác ABH
=> MD // AH và \(MD=\dfrac{1}{2}AH\)
Tương tự => NE // AH và \(NE=\dfrac{1}{2}AH\)
=> MD // NE và MD = NE
=> MNED là hình bình hành (*)
Dễ thấy \(\widehat{MKN}=\widehat{KND}=90^o\)
MK // AH \(\Rightarrow\widehat{KMD}=90^o\) (**)
Từ (*) và (**) \(\Rightarrow MNED\) là hình chữ nhật
\(\Rightarrow DN=ME\)
c) DF là đường trung bình của \(\Delta ABH\) (vì D, F lần lượt là trung điểm của BH, AH)
\(\Rightarrow\) DF // AB và DF = \(\dfrac{1}{2}\)AB
NP là đường trung bình của \(\Delta ABC\) (vì N, P lần lượt là trung điểm của AC, BC)
\(\Rightarrow\) NP // AB và NP = \(\dfrac{1}{2}\)AB
\(\Rightarrow\) DF // NP (cùng // AB) và DF = NP (= \(\dfrac{1}{2}\)AB)
\(\Rightarrow\) PDFN là hình bình hành
\(\Rightarrow\) Đường chéo PF đi qua trung điểm O của đường chéo DN và O là trung điểm của PF
Vậy P, O, F thẳng hàng (đpcm).
