Question

Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại h 

a,tính tổng HD/AD +HE/BE +HF/CF 

b,CMR: BH.BE+CH.CF=BC²

c,CM: H  cách đều 3 cạnh tam giác DEF

d,trên các đoạn HB,HC lấy các điểm M,N tùy y sao cho HM=CN . Chứng minh đường trung  trức của đoạn thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định

Chỉ cần làm câu d thôi :)))

Answer 1

Những câu trên làm kiểu gì vậy Kiên Nguyễn

Answer 2

 a) Bạn hãy nhớ điều này: " 2 tam giác có đáy bằng nhau thì tỉ số diện tích = tỉ số 2 đường cao tương ứng 2 đáy, và 2 tam giác có 2 đường cao bằng nhau thì tỷ số diện tích = tỉ số 2 đáy tương ứng " - phần chứng minh xin nhường cho bạn vì nó không khó. 
Áp dụng ta có: S(HDC)/S(ADC) = HD/AD (1). Chứng minh tương tự ta được S(BDH)/S(DAB) = HD/AD (2). Từ (1) và (2) => HD/AD = S(HDC)/S(ADC) = S(BDH)/S(DAB) = [ S(HDC) + S(BDH) ]/[ S(ADC) + S(DAB) ] = S(BHC)/S(ABC) (áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau) 
=> HD/AD = S(BHC)/S(ABC) (3) 
Chứng minh tương tự ta được: 
HE/BE = S(AHC)/S(ABC) (4) và HF/CF = S(AHB)/S(ABC) (5) 
Từ (3); (4) và (5) => HD/AD + HE/BE + HF/CF = S(BHC)/S(ABC) + S(AHC)/S(ABC) + S(AHB)/S(ABC) = [ S(BHC) + S(ACH) + S(ABH) ]/S(ABC) = S(ABC)/S(ABC) = 1 
=> HD/AD + HE/BE + HF/CF = 1. 

b) Ta chứng minh được ∆CHD ~ ∆CBF(g.g) - bạn tự chứng minh => CH/BC = CD/CF => CH.CF = BC.CD (6), chứng minh tương tự ta được: BH.BE = BC.DB (7). Từ (6) và (7) => BH.BE + CH.CF = BC.BD + BC.CD = BC(BD + CD) = BC² 

c) Hãy nhớ lại kiến thức lớp 7: Trong 1 tam giác, 3 đường phân giác cắt nhau tại 1 điểm và điểm đó cách đều 3 cạnh của tam giác (điểm này gọi là tâm đường tròn nộ tiếp). Nối E -> F; E -> D ; D -> F. Ta sẽ chứng minh H là giao điểm 3 đường phân giác. 
Ta chứng minh được ∆AFC ~ ∆AEB(g.g) => AF/AE = AC/AB => AF/AC = AE/AB. => ta chứng minh được ∆AEF ~ ∆ABC(c.g.c) => góc AEF = góc ABC, chứng minh tương tư ta được ∆CED ~ ∆CBA => góc CED = góc ABC => góc AEF = góc CED ( = góc ABC), ta có: góc FEB = 90º - góc AEF và góc BED = 90º - góc CED, mà góc AEF = góc CED => góc FEB = góc BED => BE là phân giác góc FED => EH là phân giác góc FED, chứng minh tương tự ta được DH là phân giác góc EDF và FH là phân giác góc EFD 
=> đpcm 
mình copy cho bạn lời giải đó

Answer 3

d. Gọi giao điểm trung trực của MN và HC là O==>O là 1 điểm nằm trên cả 2 đường trung trực của MN và HC==>OH=OC;OM=ON;góc OHC=góc HCO.

Xét ∆OMH và ∆ONC có:

HM=CN(gt)

OH=OC(cmt)

OM=ON(cmt)

==>∆OMH=∆ONC(c-c-c)

==>góc MHO=góc NCO hay góc BHO= góc HCO(1)

Mặt khác : góc OHC= góc HCO(cmt)(2)

Từ (1) và (2)==>góc BHO=góc OHC

==>HO là phân giác góc BHC. 

Ta lại có:Trên đường trung trực của đoạn HC, chỉ tồn tại duy nhất 1 điểm là chân đường phân giác của góc BHC(theo cmt thì là điểm O đó bạn nên suy ra điểm O là cố định và là duy nhất). Mà giao điểm trung trực của MN và trung trực của HC lại là O theo cách dựng==>Trung trực của MN luôn đi qua điểm O cố định

Có sai sót gì bạn bỏ qua giùm mình nhé. Già rồi lầm cẩm huhu