Question

Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao AA',BB',CC' và H là trực tâm. 

a, CMR: BC'.BA+CB'.CA=BC^2

b, CMR: HB.HC/AB.AC+HA.HB/BC.AC+HC.HA/BC.AB=1

c, Gọi D là trung điểm của BC. Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với DH cắt AB,AC lần lượt tại M và N. CMR H là trung điểm MN

Giải chi tiết giúp mình với ạ, không cần vẽ hình đâu .Mk cảm ơn trước ^_^

Answer 1

Giả sử ΔABCΔABC có 3 đường cao là AD,BE,CFAD,BE,CF.

Ta có: 

ΔHAE∼ΔCAD(g−g)⇒HACA=AEADΔHAE∼ΔCAD(g−g)⇒HACA=AEAD

⇒HA.HBCA.CB=AE.HBAD.CB=SAHBSABC⇒HA.HBCA.CB=AE.HBAD.CB=SAHBSABC

CMTTCMTT, ta có:

HA.HBCA.CB+HB.HCAB.AC+HC.HABC.BA=SAHBSABC+SAHCSABC+SBHCSABC=1(dpcm)

Answer 2

Giả sử ΔABCΔABC có 3 đường cao là AD,BE,CFAD,BE,CF.

Ta có: 

ΔHAE∼ΔCAD(g−g)⇒HACA=AEADΔHAE∼ΔCAD(g−g)⇒HACA=AEAD

⇒HA.HBCA.CB=AE.HBAD.CB=SAHBSABC⇒HA.HBCA.CB=AE.HBAD.CB=SAHBSABC

CMTTCMTT, ta có:

HA.HBCA.CB+HB.HCAB.AC+HC.HABC.BA=SAHBSABC+SAHCSABC+SBHCSABC=1(dpcm)