Cho tam giác ABC nhọn , các đường cao \(AA',BB',CC'\), H là trực tâm .
a, tính tổng \(\frac{HA'}{AA'}+\frac{HB'}{BB'}+\frac{HC'}{CC'}\)
b, gọi AI là phân giác của tam giác ABC ; IM,IN thứ tự là phân giác của góc AIC và góc AIB. C/M : AN.BI.CM=BN.IC.AM
c, tam giác ABC như thế nào thì biểu thức \(\frac{\left(AB+BC+CA\right)^2}{AA'^2+BB'^2+CC'^2}\)đạt GTNN
. vẽ Cx vuông góc với CC' tại C
. Vẽ D là điểm đối xứng của A qua Cx, cắt Cx tại E
.Xét\(\Delta ACD\) có: CE vừa là đường cao, vừa là trung tuyến nên \(\Delta ACD\) cân tại C => AC = CD
. Ta có tứ giác AECC' là hình chữ nhật ( Có 3 góc bằng 90 độ)
. => \(CC'=AE=\frac{1}{2}AD\)
. Xét ba điểm B, C, D, ta có: \(BD\le BC+CD\)
. Áp dụng Đl Pitago vào tam giác vuông ABD, có:
. \(AB^2+AD^2=BD^2\) => \(AB^2+\left(2CC'^2\right)\le\left(BC+CD\right)^2\)
. <=>\(AB^2+4CC'^2\le\left(BC+AC\right)^2\)
. <=> \(4CC'^2\le\left(BC+AC\right)^2-AB^2\) \(\left(1\right)\)
. C/m tương tự, ta có: \(4BB'\le\left(AB+BC\right)^2-AC^2\) \(\left(2\right)\)
. \(4AA'\le\left(AB+AC\right)^2-BC^2\) \(\left(3\right)\)
. Từ \(\left(1\right)\) , \(\left(2\right)\) và \(\left(3\right)\) suy ra: \(4\left(AA'^2+BB'^2+CC'^2\right)\le\left(AB+BC+AC\right)^2\) (Phân tích mấy cái trên kia là ra)
. Suy ra: \(\frac{\left(AB+BC+AC\right)^2}{AA'^2+BB'^2+CC'^2}\ge4\)
. Vậy GTNN của \(\frac{\left(AB+BC+AC\right)^2}{AA'^2+BB'^2+CC'^2}\) là 4 khi AB=BC=AC hay tam giác ABC đều
. Mình biết làm nè
. Cơ mà bài đó dài lắm bạn ôi =))
cái dấu bằng xảy ra tai sao lại khi và chỉ khi tam giác ABC đều
Bạn nào có thể giải cả phần cm tương tự hộ mình đc k?cảm ơn nhiều!
