Question

Cho tam giác ABC nhọn. Ba đường cao AH, BI, CK. CMR :

a. \(S_{AIK}\) = \(cos^2A\) . \(S_{ABC}\)

b. \(S_{IHK}=\left(1-cos^2A-cos^2B-cos^2C\right).S_{ABC}\)

Giúp mk với ạ, mk đang cần gấp

Cảm ơn mọi người nhiều!

Answer 1

a,Áp dụng ht trong tam giác vuông AIB, AKC có:

\(tanA=\frac{AI}{AB}\) và \(cosA=\frac{AI}{AB}\)

\(tanA=\frac{AK}{AC}\)

=> \(\frac{AI}{AB}=\frac{AK}{AC}\) mà \(\widehat{A}\) chung

=>\(\Delta AKI\sim\Delta ACB\) (c-g-c)

=> \(\frac{S_{AKI}}{S_{ACB}}=\left(\frac{AI}{AB}\right)^2=cos^2A\)

=> \(S_{AIK}=cos^2A.S_{BCA}\)

b, Có \(\frac{S_{AKI}}{S_{ABC}}=cos^2A\)

CM tương tự câu a có: \(\frac{S_{KBH}}{S_{ABC}}=cos^2B\)

\(\frac{S_{CIH}}{S_{ABC}}=cos^2C\)

=> \(1-cos^2A-cos^2B-cos^2C=1-\frac{S_{AKI}}{S_{ABC}}-\frac{S_{KBH}}{S_{ABC}}-\frac{S_{CIH}}{S_{ABC}}=\frac{S_{ABC}-S_{KBH}-S_{CIH}-S_{AKI}}{S_{ABC}}=\frac{S_{IHK}}{S_{ABC}}\)

<=> \(S_{HIK}=\left(1-cos^2A-cos^2B-cos^2C\right)S_{ABC}\)