Cho tam giác ABC nhọn AB<AC kẻ đường cao AH. Đường tròn tâm O đường kính AH cắt AB,AC tại D,E. Đường thẳng DE cắt BC tại S.
a) C/m: BDEC là tứ giác nội tiếp
b) C/m: SB.SC=SH2
c) Đường thẳng SO cắt AB,AC lần lượt tại M, N. Đường thẳng DE cắt HM, HN lần lượt tại P,Q. C/m: BP, CQ, AH đồng quy mk chỉ cần câu c thôi, dùng Menelauyt nhé
a: \(AD\cdot AB=AH^2\)
AE*AC=AH^2
Do đó: AD*AB=AE*AC
=>AD/AC=AE/AB
=>ΔADE đồng dạng với ΔACB
=>góc ADE=góc ACB
=>góc BDE+góc C=180 độ
=>BDEC là tứ giác nội tiếp
b: Xét tứ giác ADHE có góc ADH+góc AEH=180 độ
nên ADHE là tứ giác nội tiếp
=>góc DEH=góc DAH=góc DHB
Xét ΔSDH và ΔSHE có
góc S chung
góc SHD=góc SEH
Do đó: ΔSDH đồng dạng với ΔSHE
=>SD/SH=SH/SE
hay SH^2=SD*SE
Xét ΔSDB và ΔSCE có
góc SDB=góc SCE
góc S chung
Do đó; ΔSDB đồng dạng với ΔSCE
=>SD/SC=SB/SE
=>SD*SE=SB*SC=SH^2
c: Kẻ ST là tiếp tuyến thứ hai tới (O). SO cắt (O) tại K,L
Vì SH,ST là hai tiếp tuyến nên SH=ST
=>SO là trung trực của HT
mà TH vuông góc với TA
nên SO//TA
=>STMD là tứ giác nội tiếp
=>góc TMN=góc TDE=180 độ-góc TAN
=>ATMN là tứ giác nội tiếp
mà TA//MN
nên ATMN là hình thang cân
CM tương tự, ta được ATKL là hình thang cân
=>ΔTMK=ΔANL
=>KM=LN
=>OM=ON
=>AMHN là hình bình hành
=>HN//AM
=> góc CHQ=góc ABC.
Vì BDEC là tứ giác nội tiếp nên góc CHQ=góc AED
=>Tứ giác HQEC nội tiếp=>góc HQC=góc HEC=90 độ=> CQ vuông góc HN và AM
CM tương tự, ta được BP là đường cao của ΔABC
=>BP,CQ,AH đồng quy
