Tứ giác ADMB có: AB//MD, AD//MB
ADMB là hình bình hành AB=MD và ˆDAB=ˆDMBDAB^=DMB^
Tứ giác ACME có: AE//MC, AC//ME
ACME là hình bình hành \Rightarrow AC=ME
Vì xy//BC nên ˆDAC=ˆACBDAC^=ACB^
mà ˆACB=ˆEMBACB^=EMB^ nên ˆDAC=ˆEMBDAC^=EMB^
Ta có: ˆDAB=ˆDMBDAB^=DMB^
ˆDAB−ˆDAC=ˆDMB−ˆEMBDAB^−DAC^=DMB^−EMB^
hay ˆBAC=ˆDMEBAC^=DME^
Tam giác ABC=MDE (c.g.c)
a) Vì xy // BC
\(\Rightarrow\)EAB = ABC (2 góc so le trong) (1)
Vì xy // BC
\(\Rightarrow\)DAC = ACB (2 góc so le trong) (2)
Vì AB // MD
\(\Rightarrow\)EAB =ADM (2 góc đòng vị) (3)
Vì ME //AC
\(\Rightarrow\)DAC =AEM (2 góc đồng vị) (4)
Từ (1) và (3) \(\Rightarrow\)ABC = ADM
Từ (2) và (4) \(\Rightarrow\)ACB =AEM
Xét \(\Delta\)BAM và \(\Delta\)DAM có:
ABC = EDM (cmt)
AM: chung
BAM = AMD (xy // AB)
\(\Rightarrow\)\(\Delta\)BAM = \(\Delta\)DAM (g.c.g)
\(\Rightarrow\)AD = BM (2 cạnh tương ứng) (*)
Xét \(\Delta\)EMA và \(\Delta\)CAM có;
DEM = ACB (cmt)
AM; chung
EAM = AMC (EM // AC)
\(\Rightarrow\)\(\Delta\)EMA = \(\Delta\)CAM (g.c.g)
\(\Rightarrow\)AE = MC (2 cạnh tương ứng) (**)
Từ (*) và (**) \(\Rightarrow\)AE + AD = BM + MC
Suy ra ED = BC
Xét \(\Delta\)ABC và \(\Delta\)MDE có:
ABC = EDM (cmt)
ED = BC (cmt)
ACB =MED (cmt)
\(\Rightarrow\Delta\)ABC = \(\Delta\)MDE (g.c.g)
b) Gọi I là giao điểm của AM và BD
\(\Rightarrow\)I \(\in\)BD và I \(\in\)AM
Xét \(\Delta\)AID và \(\Delta\)MIB có:
IMB = IAD (2 góc so le trong)
AD = BM (cm câu a)
IAD = IMB (2 góc so le trong)
\(\Rightarrow\Delta\)AID = \(\Delta\)MIB (g.c.g)
\(\Rightarrow\)ID = IB (2cạnh tương ứng)
Xét \(\Delta\)EID và \(\Delta\)CIB có:
ED = BC (cm câu a)
IBC = IDE (2 góc so le trong)
IB = ID (cmt)
\(\Rightarrow\)\(\Delta\)EID =\(\Delta\)CIB (c.g.c)
\(\Rightarrow\)BIC =DIE (2 góc tương ứng)
mà EIB + EID = 180o
\(\Rightarrow\)EIB + BIC = 180o
\(\Rightarrow\)EIC = 180o
\(\Rightarrow\)E, I, C thẳng hàng
\(\Rightarrow\)AM, BD, CE đồng quy
