Question

Cho tam giác ABC, lấy điểm D trên AC sao cho AD/DC = 1/2. Gọi M là trung điểm của BD, AM cắt BC tại E. Tính EC/EB.

Answer 1

Kẻ MF // BC; F \(\in\)AC mà D \(\in\)AC nên F cũng \(\in\)DC

Xét \(\Delta\)DBC có : M là trung điểm của DB ( gt ); MF // BC ( F \(\in\)DC )

\(\Rightarrow\)F là trung điểm của DC ( Định lí 1 )

Lại xét \(\Delta\)DBC có : M là trung điểm của DB ( gt ); F là trung điểm của DC ( cmt )

\(\Rightarrow\)MF là đường trung bình của  \(\Delta\)DBC ( Định nghĩa )

\(\Rightarrow MF=\frac{1}{2}BC\Rightarrow\frac{MF}{BC}=\frac{1}{2}\)( Định lý 2 ) (*)

Vì \(\frac{AD}{DC}=\frac{1}{2}\); F là trung điểm của DC hay \(\frac{FD}{DC}=\frac{FC}{DC}=\frac{1}{2}\) \(\Rightarrow\)AD = DF = FC \(\Rightarrow\frac{\text{AF}}{AC}=\frac{AD+\text{AF}}{AC}=\frac{2\cdot AD}{AC}=\frac{2\cdot1}{3}=\frac{2}{3}\)

Xét \(\Delta\)AEC ( MF // EC vì MF // BC mà E \(\in\)BC ) ta có :

\(\frac{\text{AF}}{AC}=\frac{MF}{EC}=\frac{2}{3}\)( Áp dụng định lý Ta-lét ) (**)

Ta lại có : \(\frac{MF}{BC}:\frac{MF}{EC}=\frac{MF\cdot EC}{BC\cdot MF}=\frac{EC}{BC}\)(***)

Từ (*)(**)(***) nên ta có : \(\frac{EC}{BC}=\frac{1}{2}:\frac{2}{3}=\frac{1\cdot3}{2\cdot2}=\frac{3}{4}\)\(\Rightarrow\frac{EB}{BC}=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}\)

\(\Rightarrow\frac{EC}{EB}=\frac{3}{1}=3\)