Xét \(\Delta\)MKA và \(\Delta\)CKB có:
MK = CK (gt)
\(\widehat{MKA}\) = \(\widehat{CKB}\) (đối đỉnh)
KA = KB (suy từ gt)
=> \(\Delta\)MKA = \(\Delta\)CKB (c.g.c)
=> MA = CB (2 cạnh tương ứng) (1)
Xét \(\Delta\)NEA và \(\Delta\)BEC có:
NE = BE (gt)
\(\widehat{NEA}\) = \(\widehat{BEC}\) (đối đỉnh)
EA = EC (suy từ gt)
=> \(\Delta\)NEA = \(\Delta\)BEC (c.g.c)
=> NA = BC (2 cạnh tương ứng) (2)
Từ (1) và (2) suy ra MA = NA
Do đó A là trung điểm của MN.
Đa số các bạn dưới làm đều thiếu điều kiện thẳng hàng. Mk sẽ làm lại
Giải:
Xét \(\Delta AKM,\Delta BKC\) có:
\(AK=BK\left(gt\right)\)
\(\widehat{K_1}=\widehat{K_2}\) ( đối đỉnh )
\(KM=KC\left(gt\right)\)
\(\Rightarrow\Delta AKM=\Delta BKC\left(c-g-c\right)\)
\(\Rightarrow MA=BC\) ( cạnh t/ứng ) (1)
\(\Rightarrow\widehat{A_1}=\widehat{B}\) ( góc t/ứng )
Xét \(\Delta AEN,\Delta CEB\) có:
\(EA=EC\left(gt\right)\)
\(\widehat{E_1}=\widehat{E_2}\) ( đối đỉnh )
\(EN=EB\left(gt\right)\)
\(\Rightarrow\Delta AEN=\Delta CEB\left(c-g-c\right)\)
\(\Rightarrow AN=BC\) ( cạnh t/ứng ) (2)
\(\Rightarrow\widehat{A_2}=\widehat{C}\) ( góc t/ứng )
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow AM=AN\left(=BC\right)\) (3)
Ta có: \(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^o\) ( 3 góc của t/g )
\(\Rightarrow\widehat{A}+\widehat{A_1}+\widehat{A_2}=180^o\)
\(\Rightarrow\widehat{MAN}=180^o\)
\(\Rightarrow M,A,N\) thẳng hàng (4)
Từ (3) và (4) suy ra A là trung điểm của MN
Vậy...
xét \(\Delta AKM\) và \(\Delta BKC\) có:
KM = KC (gt)
AK = KB (vì K là trung điểm của BC)
\(\widehat{AKM}=\widehat{BKC}\) (đối đỉnh)
=> \(\Delta AKM=\Delta BKC\left(c.g.c\right)\)
=> AM = BC (2 cạnh tương ứng) (1)
xét \(\Delta AEN\) và \(\Delta BEC\) có:
BE = EN (gt)
AE = EC (vì E là trung điểm của AC)
\(\widehat{AEN}=\widehat{BEC}\) (đối đỉnh)
=> \(\Delta AEN=\Delta BEC\left(c.g.c\right)\)
=> AN = BC (2 cạnh tương ứng ) (2)
từ 1 và 2 => AM = AN
mà A nằm giữa MN và AM = AN => A là trung điểm của MN
vậy A là trung điểm của MN
Vì \(\Delta AMK = \Delta BCK\) (cmt)
\(\Rightarrow\)\(\widehat{MAK} = \widehat{CBK}\) (2 góc tương ứng)
mà 2 góc này nằm ở vị trí so le trong
\(\Rightarrow\) MA // BC (1)
Chứng minh tương tự ta có:
AN // BC (2)
Từ (1)(2), qua 1 điểm nằm ngoài 1 đường thẳng có 2 đường thẳng song song với đường thẳng đã cho
\(\Rightarrow\)Trái với tiên đề Ơ clit
\(\Rightarrow\)\(AM\equiv AN\)
hay A,M,N thẳng hàng
Xét \(\Delta MKA\) và \(\Delta CKB\) có :
\(\widehat{K1}=\widehat{K2}\)
\(MK=KC\)
\(BK=KA\)
Nên \(\Delta MKA=\Delta CKB\)(c-g-c)\(\Rightarrow MA=BC\)(1)
Xét \(\Delta ANE=\Delta EBC\) có :
\(\widehat{E1}=\widehat{E2}\)
\(AE=EC\)
\(BE=EN\)
Nên \(\Delta ANE=\Delta EBC\)(c-g-c)\(\Rightarrow NA=BC\)(2)
Từ (1) và(2) \(\Rightarrow MA=NA\)
Vì \(\Delta MAK=\Delta CKB\Rightarrow\widehat{MAK}=\widehat{KBC}\)
Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên MA//BC(3)
Vì \(\Delta ANE=\Delta EBC\Rightarrow\widehat{EAN}=\widehat{ECB}\)
Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên NA//BC(4)
Từ (3) và (4) suy ra :
M , A , N thẳng hàng (tiên đề ơ clit)
Và MA=NA
Vậy A là trung điểm của MN
