Question

Cho tam giác ABC, gọi M là một điểm bất kì thuộc miền trong của tam giác ABC. Tia AM cắt BC tại N. Dựng hình bình hành ADME ( D thuộc AB, E thuộc AC)> CMR: \(\frac{AD}{AB}+\frac{AE}{AC}+\frac{MN}{AN}\)có giá trị không đổi

Answer 1

Gọi F, K lần lượt là giao của hai đường thẳng EM, DM với cạnh BC

Áp dụng định lí Ta – lét trong \(\Delta ABC\)có:

DK // AC \(\Rightarrow\frac{AD}{AB}=\frac{CK}{BC}\);  EF // AB \(\Rightarrow\frac{AE}{AC}=\frac{BF}{BC}\left(1\right)\)

Áp dụng định lí Ta – lét trong \(\Delta ABN\)có:

MF // AB \(\Rightarrow\frac{MN}{AN}=\frac{FN}{BN}\left(2\right)\)

Áp dụng định lí Ta – lét trong \(\Delta ACN\)có:

MK // AC \(\Rightarrow\frac{MN}{AN}=\frac{NK}{NC}\left(3\right)\)

Từ (2) và (3) \(\Rightarrow\frac{MN}{AN}=\frac{FN}{BN}=\frac{NK}{NC}=\frac{FN+NK}{BN+NC}=\frac{FK}{BC}\left(4\right)\)

Từ (1) và (4) \(\Rightarrow\frac{AD}{AB}+\frac{AE}{AC}+\frac{MN}{AN}\)

\(=\frac{CK}{BC}+\frac{BF}{BC}+\frac{FK}{BC}=\frac{CK+BF+FK}{BC}=\frac{BC}{BC}=1\)

Vậy tổng \(\frac{AD}{AB}+\frac{AE}{AC}+\frac{MN}{AN}\)có giá trị không đổi.