Question

Cho tam giác ABC, góc A = 90 độ, AB  = 5cm, BC = 13cm, kẻ trung tuyến AM, I là trung điểm của AM, BI cắt AC tại D. Hỏi BI bằng bao nhiêu cm?

Answer 1

Gọi E là trung điểm của CD.

Xét tam giác BDC ta có:

M là trung điểm của BC ( gt )

E là trung điểm của CD (cách vẽ)

=> EM là đường trung trực của tam giác BDC.

=> EM // BD => EM // ID ( I thuộc BD )

Xét tam giác AME có:

I là trung điểm của AM (gt)

EM // ID (cmt)

=> D là trung điểm của AE

Xét tam giác AME có:

I là trung điểm của AM (gt)

D là trung điểm của AE (cmt)

=> ID là đường trung bình của tam giác AME.

\(\Rightarrow ID=\frac{1}{2}ME\)

Mà \(ME=\frac{1}{2}BD\) ( ME là đường trung bình của tam giác BDC )

Nên \(ID=\frac{1}{4}BD\left(1\right)\)

Xét tam giác ABC vuông tại A ta có:

BC² = AB²+AC² ( Định lý Pitago thuận)

Thay: 

13² = 5² + AC²

169 = 25 + AC² => AC² = 169 - 25 = 144

=> AC² = 12²

=> AC = 12 (cm)

Ta có: AD = ED ( D là trung điểm của AE )

ED = EC ( E là trung điểm của DC)

=> AD = ED = EC

Mà AD + ED + EC = AC (gt)

Nên: AD + AD + AD = AC 

=> 3AD = AC

=> AD = AC/3

Mặt khác AC = 12 cm (cmt)

=> AD = 12/3 = 4 (cm)

Xét tam giác ABD vuông tại A ta có:

BD² = AB²+AD² ( định lý Pitago thuận)

BD² = 5²+4²

BD² = 25 + 20

BD² = 45

=> \(BD=\sqrt{45}\Rightarrow BD=3\sqrt{5}\left(cm\right)\left(2\right)\)

Thế (2) vào (1) ta được:

\(ID=\frac{3\sqrt{5}}{4}\left(cm\right)\left(3\right)\)

Ta có: 

BI + ID = BD ( I thuộc BD )

=> BI = BD - ID (4)

Thế (2), (3) vào (4) ta được:

\(BI=3\sqrt{5}-\frac{3\sqrt{5}}{4}\)

\(BI=3\sqrt{5}\left(1-\frac{1}{4}\right)\)

\(BI=3\sqrt{5}.\frac{3}{4}\)

\(BI=\frac{9\sqrt{5}}{4}\left(cm\right)\)