a) Xét tam giác vuông AEO và tam giác vuông AFO có:
Cạnh AO chung
\(\widehat{EAO}=\widehat{FAO}\) (gt)
\(\Rightarrow\Delta AEO=\Delta AFO\) (Cạnh huyền - góc nhọn)
\(\Rightarrow OE=OF\)
Do O thuộc trung trực BC nên tam giác OBC cân tại O hay OB = OC.
Xét tam giác vuông EBO và tam giác vuông FCO có:
EO = FO (cmt)
OB = OC (cmt)
\(\Rightarrow\Delta EBO=\Delta FCO\) (Cạnh huyền - cạnh góc vuông)
\(\Rightarrow BE=CF.\)
b) Từ B, kẻ đường thẳng song song AC, cắt EF tại K.
Ta có : \(\widehat{BKE}=\widehat{AFE}\) nên \(\widehat{BKE}=\widehat{AEF}\) . Vậy tam giác BEK cân tại B hay BE = BK
Lại có BE = CF nên BK = FC
Xét tam giác BKM và tam giác CFM có:
BM = CM
BK = CF
\(\widehat{KBM}=\widehat{FCM}\) (So le trong)
\(\Rightarrow\Delta BKM=\Delta CFM\left(c-g-c\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{BMK}=\widehat{CMF}\) (Hai góc tương ứng)
Vậy K, M, F thẳng hàng.
c) Ta cần chứng minh \(IA^2+IE^2+IO^2+IF^2=OA^2\)
Ta thấy ngay AE = AF, OE = OF nên OA là trung trực của EF.
Vậy thì \(AO\perp EF\) hay các tam giác AIE và IOF vuông.
Áp dụng định lý Pi-ta-go ta có: \(AI^2+EI^2=AE^2;IO^2+IF^2=OF^2=OE^2\)
Xét tam giác buông AEO thì \(AE^2+EO^2=AO^2\)
Vậy nên \(AI^2+EI^2+IO^2+IF^2=AO^2.\)
